Fonction

[cece71]

Bonjour à tous!
Voila,j'ai un petit problème que je n'arrive pas a résoudre, donc j'aimerais avoir un petit coup de pouce...
Soit une fonction polynome P de R dans R tq P(0)=0. On désigne par fp la fonction définie sur ]0,1] par fp(x)=P(x)/sin(pi*x/2).Montrer que cette fonction possède un prolongement, noté fp_,de classe C1 sur l'intervalle [0,1].
Donc j'obtient le prolongement fp_ = 2*P'(0) si x=0 et fp_= P(x)/(sin(pi*x/2) sinon
Je n'arrive pas à montrer que la limite de f'p=(P'(x)*sin(pi*x/2)-P(x)*cos(pi*x/2))/(sin²(pi*x/2)) est égale à 0.
Merci de m'aider

[bitonio]

Je suis pas sûr de comprendre pourquoi tu veux montrer ca:

Je n'arrive pas à montrer que la limite de f'p=(P'(x)*sin(pi*x/2)-P(x)*cos(pi*x/2))/(sin²(pi*x/2)) est égale à 0.

Logiquement, tu es sencé montré que ta fonction est C^0 sur [0;1] en prolongeant par continuité, puis C^1 par le théorème de prolongement C^1

[cece71]

mais pour montrer que c'est C1, il fait montrer que c'est dérivable et que c'est continue
Or f'p=0 et f'p=(P(x)......)
Donc il faut bien montrer que la limite de P(x)..... quand x tend vers 0 est 0?
Et a partir de ce résultat,on peut montrer que fp_ est C1?

[bitonio]

Thorème de prolongement
Soit f sur ]a;b]
Si , alors f est sur [a;b]

Avec un DL, on montre facilement que f est puis

[Quidam]

Au voisinage de 0,

Donc :
Donc, indépendamment de ce qui a été dit ci-dessus, ton prolongement n'est pas tout à fait bon !

[bitonio]

Je ne comprend pas pourquoi le prolongement n'est pas bon... :hein: Quel est le problème ?
(EDIT : ok il lui manquait un Pi si c'est ça dont tu parles... )

[bitonio]

Il reste plus qu'à montrer en faisant un DL que la limite de la dérivée existe, donc qu'on peut prolonger par continuité... Une erreur fréquente serait de penser que si une fonction admet un DL à l'ordre n, alors sa dérivée l'admet à l'ordre n-1 ce qui est complétement faux. On ne peut donc pas conclure sur un DL de la fonction pour savoir si la dérivée est continue.

[cece71]

pour te répondre quidam,oui,j'avais trouvé comme toi,j'avais juste oublié d'en écrire un bout...lol
Et bitonio, a vrai dire,je ne vois pas trop trouvé la limite de f'p avec un dl...puisque de toute facon, au dénominateur, sin²(pi*x/2) tend vers 0...
Donc on obtient une forme indéterminée,non?

[bitonio]

(prolongement) Le dénominateur tend pourtant vers 0 non ?

[cece71]

bon ben je vais revoir ce que j'ai fait,et passer par les dl plutot que par les équivalence.
je te remercie beaucoup pour m'avoir aider
bonne soirée!