Besoin d'exemple sur..

[blackpearl]

bjr, je voudrai avoir des éclairements sur une leçons que j'ai pas bien pigée celle de membres réel (borne sup, borne inf) enfin je veux savoir comment procéder pour trouver le sup le max le min ... pouvez vous me donné des exemple. merci d'avance :happy2:

[maf]

Le maximum, c'est la plus grande valeur à droite de ton ensemble de définition pour autant qu'il soit fermé à droite.
Le minimum, c'est la plus petite valeur à gauche de ton ensemble de définition pour autant qu'il soit fermé à gauche.

L'inf c'est la plus petite valeur à gauche de ton ensemble de définition qu'il soit ouvert ou fermé.
Le sup, c'est la plus grande valeur à droite de ton ensemble de définition qu'il soit ouvert ou fermé.

[maf]

Quelques exemples : avec les relations suivantes : a
[a;b] : min = a, max = b, sup = b, inf = a
[a;b[ : min = a, pas de max, sup = b, inf = a
]a;b] : pas de min, max = b, sup = b, inf = a
]a;b[ : pas de min, pas de max, sup = b, inf = a

[a;b] U [c;d[ : min = a, pas de max, sup = d, inf = a

[a;oo[ : pas de max, on peut noter sup = oo (même si le supremum n'existe pas)

[Skullkid]

Bonjour, il faut comprendre que la borne supérieure d'un ensemble (à supposer qu'elle existe) est le plus petit (le "meilleur") des majorants. De la même façon, la borne inf est le plus grand des minorants.

Donc pour prouver, par exemple, que M est la borne supérieure de l'ensemble A, tu dois montrer deux choses :
- M est un majorant de A.
- Si M' est un majorant de A, alors nécessairement .

Mais ça suppose que tu aies déjà sous la main un candidat M dont tu veux montrer qu'il est la borne supérieure. Il n'y a pas vraiment de règle pour trouver ce candidat. Soit on peut le sentir plus ou moins intuitivement, soit on essaye de trouver un majorant (par des majorations les plus fines possibles) de A, et on prie pour que ce soit le bon...

Exemple bateau : trouver la borne inférieure de . On imagine assez bien que cette borne inférieure est 0. Donc on essaye de le prouver :
- 0 est un minorant de A puisque tous les éléments de A sont positifs.
- Soit m un minorant de A, par l'absurde supposons que m > 0. Il existe un entier n tel que donc m ne peut pas être minorant de A, contradiction.

Y a aussi des moyens de caractériser les bornes inf et sup en utilisant des suites : un minorant m de A est la borne inférieure de A si m est limite d'une suite d'éléments de A (ça découle de la définition formelle de la borne inf, avec des epsilon). Idem pour la brone sup, mais tu n'auras probablement pas à t'en servir tout de suite.

Enfin, il faut saisir la différence entre une borne supérieure et un maximum : un maximum est un majorant qui est atteint, c'est-à-dire qui appartient à A. Dans mon exemple, 0 n'est pas le minimum de A, car il n'existe aucun entier naturel non nul dont l'inverse soit égal à 0.

En éspérant t'avoir éclairé

[blackpearl]

merci bcp, maintenant je sais au moins de quoi sa s'agit :ptdr: merci merci merci