Diagonalisation et changement de base

[ninine37]

Bonjour à tous,

voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre entièrement:

On considère la matrice réelle
A= 2 1 0 appartenant à M3(IR).
1 2 0
0 0 3

1) Déterminer le polynôme caractéristique PA de la matrice A.En déduire que les valeurs propres de A sont 1 et 3.

2)Déterminer les sous-espaces propres de A (on donnera une base B1 de E1 et une base B3 de E3).En déduire que A est diagonalisable.

3) Montrer que la famille B=B1 U B3 est une base de IR(3)

Je bloque sur cette troisième question.

Pour la question 2) j'ai trouvé pour E1 : vect{(1 -1 0)} et pour E3 : vect{(1 1 0)} peut-être me suis-je trompé?

Est-ce que ces résultats sont justes? Comment dois-je procéder pour le 3)?

Merci beaucoup pour votre aide!!! :we:

[neibaf]

Bonjour,

ben ce qu'il y a de sûr, c'est qu'avec ce qu etu as trouvé, tu n'as pas une base de R(3) (tu ne peux pas avoir le vecteur (0 0 1) par exemple), donc tu as du te planter avant...

[klevia]

Salut pour E1, je trouve comme toi: vect (1;-1;0) mais pour E3
je trouve vect{(1,1,0);(1,1,1)}

On a bien = E1 E3

[klevia]

Salut pour E1, je trouve comme toi: vect (1;-1;0) mais pour E3
je trouve vect{(1,1,0);(1,1,1)}

On a bien = E1 E3

[ninine37]

Merci klevia!
Je me doutais bien qu'il en manquait un mais je n'arrive pas à le trouver!
Comment as-tu trouvé (1, 1, 1)?
Car en faisant (A-3I)(x,y,z)=0 je trouve x=y et z=0.

[klevia]

Non , pas tout à fait, je trouve x=y et z qcq !!!
donc avec X=(1,1,0) ca marche mais aussi avec X'=(1,1,1) !!!

[ninine37]

D'accord! :id: Je te remercie beaucoup ça me débloque pour faire la fin de l'exercice.
Encore merci!!!

[SamSam]

Bonsoir a tous,
en essayant de faire l'exercice, je ne sais pas pourquoi, mais pour les valeurs propres je trouve 3 et 2 (pas 1)..
propositions?

[SamSam]

j'ai besoin de savoir si j'ai raison ou tort s'il vous plait. et dans le cas ou j'ai tort, j'aimerai bien savoir ou est ce que j'avais tort.
merci d'avance et bonne soiree! =)

[yos]

C'est bien 1 et 3.
2 n'est pas vp car A-2I est inversible.

[SamSam]

attends..
on est bien d'accord que le polynome caracteristique qu'on obtient est egal a:
(3-x)(x^2-4x+4)? (puisque P=det(A-gamma*I) ) , gamma=x.

donc on a bien x1= 3 et x=2 (apres avoir calculer le discriminant delta=0)..
corrige moi si j'ai tort s'il te plait; pourtant j'ai refait l'exercice plus qu'une fois et j'ai toujours obtenu 2 et pas 1..

[yos]

attends..
on est bien d'accord que le polynome caracteristique qu'on obtient est egal a:
(3-x)(x^2-4x+4)?

Ben non!

[SamSam]

:hum: comment tu fais alors pour avoir ce polynome? :hum:

[yos]

Je développe selon la première colonne :
(2-X)(2-X)(3-X)-(3-X)

[SamSam]

essaies de developper selon la derniere ligne..

[Joker62]

En développant avec la dernier ligne, on a

PA(X) = (3-X)((2-X)²-1) = (3-X)(1-X)(3-X) = (3-X)²(1-X)

Et pour en revenir au problème de départ,
L'exercice nous dit clairement que A est diagonalisable, on a donc que le sous-espace propre engendré par la valeur propre 3 doit être de dimension 2.
En trouvant un seul vecteur, tu ne pouvais que te tromper.

[SamSam]

oulalaaaa une petite erreur de calcul de ma part m'a complique la vie avec un tel simple exercice!!!!
je vous remercie pour avoir insiste a m'expliquer! =)