Preuve equipotence

[pHoeniX86]

Bonjour,

J'aimerais savoir qu'elle serait la demarche à suivre pour prouver que N-{1,2,...,n} et N sont equipotents.
Bien sur je sais qu'il faut prouver qu'il existe une bijection entre N-{1,2,...n} et N.

Mais comment faire une preuve propre.
Par preuve propre j'entends pouvoir la réutiliser pour par exemple Q et Nou encre Z et N.

Merci d'avance.

[tize]

Bonjour,
pour ton exemple, tu peux expliciter une bijection simple de dans .
Par contre pour c'est assez différent, en général on montre que c'est équipotent à un produit d'ensembles dénombrables et on exhibe pas directement une bijection avec même si c'est possible...

[pHoeniX86]

Bonjour,
pour ton exemple, tu peux expliciter une bijection simple de dans .

Tu as un exemple? Parce que par bijection simple,je vois pas du tout...

[tize]

Bah le plus simple me parait : et bien sur...reste à prouver que c'est bien une bijection...bon courage...

[pHoeniX86]

Merci beaucoup je suis sur la preuve.
Je la met dès que j'ai fini.
Voila pour ceux que ça interesse.
Soit
et

Prouvons l'injectivité.
On va le faire par l'absurde. Supposons alors qu'il y ait un m et un m' différents tel que f(m)=f(m).
Soit donc f(m)=f(m') => m+n=m'+n => m=m'. Or nous avons supposé qu'il existait un m et m' différents tel que f(m)=f(m'). Cette supposition est donc fausse. On a donc l'application f injective.

Prouvons la surjectivité.
Montrons que pour tout y appartenant à N-{1,2,...,n} il existe un m appartenant à N tel que y=f(m).
Soit y appartenant à N-{1,2,...,n} considérons m=y-n on a f(m)=y-n+n=y. CQFD.

En ce qui concerne N equipotent à Z. Est ce que je peut prendre :

Je vois pas tout de suite mais ça parait pas trop compliqué.