Calcul d'une limite

[chronosis]

Voila j'ai un petit problème pour calculer cette limite
Je sais qu'elle est égale à "e" ( et non egale à 1) mais je n'arrive pas à le montrer.
Tout d'abord j'ai mis que =
puis j'ai posé

ce qui me donne

or je connais la limite de quand X ted vers + l'infinie mais je n'arive pas à obtenir "e "à la fin.
Quelqu'un sait comment faire?

[thedream01]

1/X tend vers 0 quand X tend vers l'infini...
Donc fais un DL et ça va marcher

[BertrandR]

J'ajoute au cas ou : Attention à ne pas faire un DL comme si le x dans la puissance était constant !

Il faut d'abord passer au logarithme ton expression :
avec X qui tend vers 0.
La tu fais un developpement limité du Ln qui est équivalent à X en 0 (je te laisse le faire).
Tu en déduis que tend vers 1 en +l'infini.
Et maintenant très important, tu ne passe pas les limites à l'exponentielledirectement, tu dis avant: Par continuite de l'exponentielle, on passe donc aux exponentielles des limites, c'est à dire
tend vers 1
tend vers

Voila

[thedream01]

J'ajoute au cas ou : Attention à ne pas faire un DL comme si le x dans la puissance était constant !

Je ne comprends pas ta remarque!

[BertrandR]

Bien sur! Mais il n'existe pas de developpement limité de la fonction avec x variable. Enfin si il existe, mais il est impératif de repasser par l'écriture .

[xyz1975]

Je ne comprends pas ta remarque!

Il veut dire : il ne faut pas utiliser le DL de (1+x)^alpha pour écrire le DL de (1+x)^x car x n'est pas une constante : erreur fréquement rencontrée sur les copies des étudiants.

[thedream01]

je crois que tu t'embrouilles un peu là!
Biensur que tu peux faire un DL à ln(1+1/x)!!! je ne vois pas ce qui te dérange?!

[thedream01]

Ah ok! oui oui, mais moi je parlais de la formule qui a été donnée en haut, il avait déja commencé le travail!

[The Void]

Salut,
Sans connaître les DL de ln, etc.. (je suis en mpsi) je pense avoir une méthode de résolution :)
ln(1+1/x) équivalent à 1/x
xln(1+1/x) équivalent à 1
=> lim xln(1+1/x) = 1
exp continue => (1+1/x)^x -> e

[BertrandR]

Et dit moi, d'ou sort tu ces equivalents si tu ne connais pas les DL ? :D

[busard_des_roseaux]

Et dit moi, d'ou sort tu ces equivalents si tu ne connais pas les DL ?

ces équivalents viennent du nombre dérivé du log en u=1
avec l'accroissemnt

[lapras]

Bonjour,

tu ne passe pas les limites à l'exponentielledirectement, tu dis avant: Par continuite de l'exponentielle, on passe donc aux exponentielles des limites

Pourquoi est ce important de dire cette phrase ?

[The Void]

Et dit moi, d'ou sort tu ces equivalents si tu ne connais pas les DL ?

Quand x->0, la limite de ln(x+1)/x (=ln'(x+1)=1/(x+1)) et x/x est 1 , il suffit ensuite de poser X=1/x.

[blackpearl]

c'est pas +l'infini la limite de cette fonction ! enfin je pense que c sa!