Théorème à démontrer

par **cereal-killeuz** » 03 Déc 2007, 19:54

Bonsoir !
j'ai un devoir sur le théorème de Sophie Germain.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ? je pense avoir réussi quelques trucs mais après j'ai beaucoup de mal...

Soit a un nombre entier naturel. On pose A = a^4+4

1) Réussie

2) Démontrez l'égalité : A = (a^4+4a^2+4)-4a^2 et en déduire une factorisation de A en un produit de deux facteurs.
Pour démontrer cette égalité suffit il d'écrire :
a^4+4 = a^4+4a^2+4-4a^2
a^4+4 = a^4+4
?
Et pour la factorisation est ce que c'est bien : (a^4+4a^2+4)-4a^2 = (a^2+2+2a)(a^2+2-2a)
?

3) Ca se complique.
Démontrer que le plus petit de ces facteurs est strictement supérieur à 1 si a est strictement supérieur à 1.
Aide du prof : Ecrire ce facteur sous la forme : (a-n)^2+p où n et p sont des entiers que vous déterminerez.
Le plus petit des facteurs est (a^2+2-2a)
Et après je bloque.

4) En déduire que le nombre a^4+4 n'est jamais premier si a est strictement supérieur à 1.
J'imagine que je trouverais quand j'aurais la réponse à la 3).

Vraiment merci beaucoup beaucoup si vous pouvez m'aider...

par **Monsieur23** » 03 Déc 2007, 20:06

Indice pour le 2)

a² - 2a + 2 = (a² - 2a + 1) + 1

par **cereal-killeuz** » 03 Déc 2007, 20:32

Et donc pour la 2), c'est correct :
a^4+4 = a^4+4a^2+4-4a^2
a^4+4 = a^4+4
?
Ca suffit comme démonstration ?

par **Monsieur23** » 03 Déc 2007, 20:39

a^4+4 = a^4+4a^2+4-4a^2

Juste ça ça suffit..

par **cereal-killeuz** » 03 Déc 2007, 20:44

Oh... D'accord merci ^^
un soucis en moins.

Pour la 3)... J'arrive pas du tout.
Un p'tit indice :triste: ?

par **Monsieur23** » 03 Déc 2007, 20:49

Ah excuse moi, mon indice pour le 2 de tout à' l'heure, c'était pour le 3 !

par **cereal-killeuz** » 03 Déc 2007, 21:19

:cry:
Pas mon truc les maths... Désolée j'vois toujours pas !
Comment mettre (a²+2-2a) sous la forme (a-n)²+p ?
S'il vous plait... :s

par **cereal-killeuz** » 03 Déc 2007, 21:35

Est ce que c'est (a-1)²+1 ?
(a-1)²+1 mais après ?

par **esprit chagrin** » 03 Déc 2007, 21:36

cereal-killeuz a écrit::cry:
Pas mon truc les maths... Désolée j'vois toujours pas !
Comment mettre (a²+2-2a) sous la forme (a-n)²+p ?
S'il vous plait... :s

a² + 2 - 2a = ( a² - 2a + 1 ) + 1 = ( a - 1 )² + 1

par **esprit chagrin** » 03 Déc 2007, 21:53

cereal-killeuz a écrit:Est ce que c'est (a-1)²+1 ?
(a-1)²+1 mais après ?

on pose :

P = a² - 2a + 2
Q = a² + 2a + 2

A = PQ

on a : P - Q = -4a

donc : P

Q

P = a² - 2a + 2 = ( a - 1 )² + 1

a strictement supérieur à 1 => a - 1 strictement supérieur à 0 => P strictement supérieur à 1

par **cereal-killeuz** » 03 Déc 2007, 22:07

Super ! j'ai compris ^^
J'te remercie beaucoup beaucoup beaucoup :jap: !

par **esprit chagrin** » 03 Déc 2007, 22:19

cereal-killeuz a écrit:Super ! j'ai compris ^^
J'te remercie beaucoup beaucoup beaucoup :jap: !

bonne chance

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