Densité et norme infini

[Skullkid]

Bonjour, nous avons eu ce matin un DS de maths qui contenait un début de topologie (on a commencé le cours y a quelques jours), et je me demande si un de mes raisonnements est vrai (il me paraît faux, ou au moins pas clair, mais comme c'est très nouveau je ne suis pas sûr de moi).

La situation est la suivante : on a un ensemble P dense dans l'espace vectoriel E des fonctions continues définies sur I=[0,1], muni de la norme infini définie par . Soit une suite d'éléments de I.

Toutes les fonctions g de P vérifient , et je voulais étendre cette propriété à E.

Pour cela j'ai pris une fonction f de E et deux entiers naturels non nuls N et M. Après j'ai dit qu'il existait une fonction de P "sufisamment proche de f", avec la suite qui tend uniformément vers f lorsque M tend vers l'infini, vérifiant (en passant les détails).

En supposant que tout soit correct jusqu'ici, est-ce que je peux faire un double passage à la limite comme suit ? En passant à la limite sur N, tend vers , laquelle quantité tend vers en passant à la limite sur M, donc .

Le double passage à la limite me gêne un peu, je dois dire. Et deuxième question : dans l'hypothèse où ce serait juste, est-ce que ça le resterait si à droite de l'inégalité (1) j'avais du au lieu de ?

J'éspère ne pas avoir été trop confus, et merci à ceux qui auront pris le temps de me lire

[ThSQ]

une suite d'éléments de I.

Toutes les fonctions g de P vérifient

:hein: :hein:

Il manque pas une condition sur (style dense ou bien (= équi ?) répartie dans 0..1) ???

[Skullkid]

J'ai peut-être un peu trop voulu raccourcir le problème... Pour préciser : on veut montrer que si pour tous les k entiers naturels non nuls alors A est équirépartie dans I, sachant que l'ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans E.

Il découle de l'hypothèse que tous les polynômes trigonométriques vérifient (1), et j'aimerais savoir si ce que j'ai utilisé pour étendre cette propriété à E tout entier est correct.

[ThSQ]

Ca me paraît un peu hasardeux la double limite.
Mais tu peux écrire | sum_f - I_f | < | sum_f - sum_g | + | sum_g - int_g| + | int_g - int-f |

Les trois de droite -> 0 uniformément.

[Skullkid]

Ah oui en effet, je n'y aurais jamais pensé...c'est bien plus simple et ça évite mon problème, merci beaucoup :)

Cela dit, si mon truc est faux, est-ce possible de mettre en lumière le ou les points qui sont faux ? Parce que, bien que ça me semble faux, je ne saurais pas vraiment dire pourquoi...

[ThSQ]

Cela dit, si mon truc est faux

Je sais pas trop :hein: .... c'est peut-être juste. Ca me paraît optimiste de prendre une limite avant de savoir si elle existe mais bon. Y'a surement des gens plus compétents pour répondre (yos ?).

[Skullkid]

Si j'avais prouvé l'existence de la limite de la somme des , je pense que mon raisonnement serait vrai, mais en fait, les passages à la limite, je les fais juste sur ce qui concerne g. Le problème se situerait "entre" les deux passages à la limite en fait...