équa diff

[jojo0427]

Bonsoir à tous,

je viens vous demander votre avis sur ce que j'ai fait et si vous pouriez me corriger si des erreurs sont présentes. :zen:

Alors voila l'énoncé: :hum:

(E): 2y'(t)-4y(t)=(t²-8t+1)e(2t)

1- Trouver une solution particulière de (E) à l'aide de la méthode de la variation de la constante. :doh:

Voici mon résonnement: :id:

Les solutions de l'équation st de la forme y(t)= Ae(-t).

On cherche une solution particulière sous la forme y(t)= A(t)e(-t)

On aura A'(t)= (t²-8t+1)e(2t).e(t) soit A'(t)= t²-8t+1

La fonction A(t)= (t^3/3)-4t²+t convient.

La fonction yE telle que yE(t)= [(t^3/3)-4t²+t]e(-t) est une solution particulière de (E).

Voila se que j'ai fait. C'est correcte??

MERCI d'avance

[Sa Majesté]

J'ai de sérieux doutes ...
A ta place j'aurais pris y(t)= Ae(2t), car tu as du e(2t) dans l'équation et pas du e(-t)

[muse]

ouais e vois pas pourquoi -t et pas 2t mais bon ...

dérvie une fois et remplace dans ton equa.diff tu vera bien si sa marche

[Babe]

resoud l'equation homogene (=0)
puis utilise la variation de la constante

[jojo0427]

Oui en effet je me suis trompé,

Les solutions de l'équation st de la forme y(t)= Ae(2t).

On cherche une solution particulière sous la forme y(t)= A(t)e(2t)

On aura A'(t)= (t²-8t+1)e(2t).e(t) soit A'(t)= t²-8t+1

La fonction A(t)= (t^3/3)-4t²+t convient.

La fonction yE telle que yE(t)= [(t^3/3)-4t²+t]e(-t) est une solution particulière de (E).

Voila j'ai modifié la chose :lol: c'est correcte à présent? J'ai un doute mais je ne sais pas quoi faire d'autre :help:

[busard_des_roseaux]

on réécrit la solution générale trouvée:



L'ensemble des solutions a une structure de droite affine:

une solution particulière + une droite vectorielle (paramétrée par K)

[Sa Majesté]

y(t)= A(t)e(2t)
y'(t)=(A'(t)+2A(t))e(2t)
donc 2y'(t)-4y(t)=2A'(t)e(2t)

et comme 2y'(t)-4y(t)=(t²-8t+1)e(2t)

alors 2A'(t)=t²-8t+1
d'où la solution donnée par busard_des_roseaux

[jojo0427]

ah ok je vois mon erreur :triste:

[jojo0427]

je suis coincé sur une troisième question

Donner la forme générale de (E)

Vous avez une idée?

[busard_des_roseaux]

on réécrit la solution générale trouvée:



L'ensemble des solutions a une structure de droite affine dans l'e.v
des fonctions

une solution particulière + une droite vectorielle (paramétrée par K)

[jojo0427]

il faut juste dire que c'est juste ça?

[busard_des_roseaux]

il faut juste dire que c'est juste ça?

vi. :zen: :++: :zen:

[jojo0427]

se que je ne comprends pas c'est K, c'est quoi exactement?

[BertrandR]

@ jojo :
K c'est une constante d'integration que tu peux choisir arbitrairement. Autrement dit, quelque soit la valeur de K, ta solution sera exacte.

(Si ca t'interesse ceci est du au fait que les solution de ton equation sont la base d'un espace vectoriel, et par consequent toute combinaison linéaire des elements de la base est solution de l'équation.)

@busard:
Est tu sur que les solutions sont dans l'espace vectoriel des fonctions ? Je sais que l'e-v des fonction convient et que est inclu dans celui ci, mais est ce que les solution d'une equadif du premier ordre sont forcement ? Merci

[busard_des_roseaux]

@busard:
mais est ce que les solution d'une equadif du premier ordre sont forcement ? Merci

euh, si f de classe sur I entraine f de classe sur I.