Correspondance en idéaux. Besoin de quelques explications!

[marie49]

Bonjour a tous!
Encore une fois j'ai un problème en algèbre!

Le prof nous a donné un théorème et nous a laissé la démonstration à faire en exercice, mais je ne vois pas du tout par où commencer.
Voici le théorème :

Soit A un anneau et soit une partie multiplicative. Alors, il y a une bijection entre les idéaux premiers de A qui ne rencontrent pas S et les idéaux premiers de

J'ai cherché mais je ne vois vraiment pas; pourtant on avait déjà vu ce théorème l'an dernier donc je le connais, mais le prof ne l'avait pas démontré non plus.

Si vous avez déjà vu cette démonstration, je ne demande pas la démonstration complète, mais juste un indice pour me mettre sur la voie!
Merci d'avance

[alben]

Bonjour,
Soit j le morphisme injectif de A dans j(a)=a/1 et J un idéal premier de . On pose .
Il faut montrer que f(J) est un idéal premier qui ne rencontre pas S, puis que c'est bijectif...

[marie49]

Merci beaucoup!
J'ai montré que f(J) était un idéal premier.
Par contre pour montrer que j'ai fait un truc mais je suis pas sûre :

J'ai supposé que . Soit , alors , or , et une unité ne peut pas appartenir à J. Donc il y a une contradiction.

Après, il faut que je montre que si I est un idéal premier qui ne rencontre pas S, alors j(I) est un idéal premier? C'est bien ca?

[alben]

Après, il faut que je montre que si I est un idéal premier qui ne rencontre pas S, alors j(I) est un idéal premier? C'est bien ca?

Non, pas tout à fait, il faut que tu montres que si I est un idéal premier qui ne rencontre pas S , j(I) est premier et aussi que f(j(I))=I, ie que f(j(I)) est inclu dans I car c'est clair dans l'autre sens

[marie49]

D'accord je vais essayer de montrer ca!

Par contre est-ce que mon raisonnement est bon pour montrer que f(J) ne rencontre pas S? Parce que je suis pas trop sûre de moi

[alben]

Par contre est-ce que mon raisonnement est bon pour montrer que f(J) ne rencontre pas S? Parce que je suis pas trop sûre de moi

Oui, c'est bien l'idée mais il suffisait d'écrire que si s€f(J), j(s)€J et donc ce qui est impossible puisque J est premier

[marie49]

ha, ok c'était plus simple que ce que j'ai fait en fait.
Et sinon pour montrer que , j'ai dit que car j est injectif donc Ker(j)={0} .
C'est bien ca?

[marie49]

Bon je pense que j'ai compris la démo. En fait j'ai besoin de ce théorème pour faire un devoir maison, et j'ai préféré le démontrer avant pour mieux le comprendre.

Maintenant je bloque sur mon devoir maison (j'ai déjà fait 2 exos sur 3 c'est déjà pas mal!! mais le dernier me pose des problèmes). En plus ca m'énerve parce que j'ai l'impression que ca doit pas être si dur que ca, mais j'ai vraiment des lacunes en algèbre!

La première question de l'exercice 3 c'est :

Soit un idéal premier et soit . Soit .
(1) Montrer que les Q tels que q=(0) sont en bijection avec les idéaux premiers de

Je pense que c'est une application directe du théorème puisque

Mais après la question est

Montrer que si , alors où f est irréductible (donc de degré >0)

Est-ce qu'on peut dire que comme est un anneau factoriel, alors aussi, et donc Q premier equivaut à Q irreductible ?? (enfin... ca veut pas dire grand chose en fait je voudrais dire que Q est engendré par un élèment irréductilbe plutôt...)
Je suis perdue j'ai vraiment l'impression de rien connaitre en algèbre! :briques: Et pourquoi si f est irréductible, il est forcément de degré > 0 ?? Décidèment, j'arrive pas du tout à répondre à cette question!

Quelqu'un peut venir à mon secours? Merci d'avance

[marie49]

Désolée d'insister mais j'aimerais vraiment comprendre. J'ai compris pourquoi le degré de f est > 0 et c'était une question idiote, mais j'arrive quand même pas à répondre à cette question! :mur:

Même si vous êtes pas trop sûr, répondez quand même, ca me mettra peut être sur la piste.

[yos]

est un idéal (c'est l'étendu à de ) de qui est principal donc...

[marie49]

En fait il faut dire que est un idéal principal et premier de , donc il est engendré par un élèment premier de . Or, est factoriel donc premier equivaut à irréductible, donc il est engendré par un élèment irréductible de . C'est ca?

[yos]

Ca me semble bon.

[marie49]

C'est ce que j'avais écrit depuis tout à l'heure mais j'arrivais pas à le rédiger...

C'est mon gros problème en algebre, j'ai tellement de mal dans cette matière que même quand j'ai bon, j'ai quand même des doutes.

En tout cas, merci beaucoup pour ton aide!

[leon1789]

Bonjour,
Soit j le morphisme injectif de A dans j(a)=a/1 ...

ce morphisme n'est pas injectif en général... Il est injectif lorsque S ne contient aucun diviseur de 0.

[leon1789]

il faut que tu montres que si I est un idéal premier qui ne rencontre pas S , j(I) est premier et ...

Non, pas tout à fait : j(I) n'est pas un idéal premier du localisé, mais j(I) engendre un idéal premier dans le localisé.

[leon1789]

ha, ok c'était plus simple que ce que j'ai fait en fait.
Et sinon pour montrer que , j'ai dit que car j est injectif donc Ker(j)={0} .
C'est bien ca?

je me répète, mais l'application j n'est pas injective en général :we: sauf si S ne contient aucun diviseur de zéro... c'est ton hypothèse ?

En revanche, que j soit injective ou pas, il y a bien une bijection entre les idéaux premiers de A qui ne rencontrent pas S et ceux du localisé en S :we:

[marie49]

Je comprend pas comment on peut montrer le théorème si j n'est pas injectif...
Parce qu'on n'a plus ?

[marie49]

Est-ce que quelqu'un peut me proposer une démonstration du théorème, qui n'utilise pas le fait que j est injectif?

[marie49]

J'ai beau réfléchir, je ne vois pas! Leon1789, est-ce que tu peux m'expliquer stp? J'aimerais vraiment comprendre ce théorème... :triste: Merci d'avance

[leon1789]

J'ai beau réfléchir, je ne vois pas! Leon1789, est-ce que tu peux m'expliquer stp? J'aimerais vraiment comprendre ce théorème... :triste: Merci d'avance

Malheureusement je ne connais pas par coeur la preuve du théorème, désolé.