Dimension d'un anneau noethérien

[leon1789]

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[abcd22]

Bonsoir,
Je ne connais pas ce résultat, par contre pour le montrer je pense que j'essaierais d'utiliser le théorème de l'idéal principal : si x est un élément d'un anneau noethérien A et P est un idéal minimal parmi les idéaux premiers contenant x, alors codim P <= 1.

Une partie du résultat est évidente : c'est , puisque les idéaux premiers d'un quotient ou d'un localisé de A sont en bijection avec des sous-ensembles des idéaux premiers de A.
Il faut donc montrer que :
- si d = e,
- sinon, .
Il s'agit de majorer la longueur d'une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A en fonction de d et e.
Si on a une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A/xA donc n <= d;
Si on a n <= e;
Il reste le cas , ça doit être là qu'il faut distinguer les cas, mais je n'ai pas cherché.

[abcd22]

Hum en fait le théorème que j'ai cité donne tout de suite dans le dernier cas et on en déduit immédiatment le résultat dans le cas d = e.

[leon1789]

Une partie du résultat est évidente : c'est ,

Oui, pas de problème pour ça :we:

[quote="abcd22"]
Il faut donc montrer que :
- si d = e,
- sinon, .
Il s'agit de majorer la longueur d'une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A en fonction de d et e.
Si on a une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A/xA donc n = n-1 pour conclure, non ?


Il reste à démontrer que lorsque avec d et e différents.

[abcd22]

ha oui effectivement ! Dans ce cas, , ok :we:

EDIT : heu, il faut que l'idéal P de codim P = n-1 pour conclure, non ?

Rq : ce que j'ai appelé codimension c'est la hauteur.
On prend n = dim A (on peut supposer les dimensions finies si je ne me trompe pas), soit i le plus petit indice tel que , alors car est une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A/xA, et en fait ce que je voulais dire c'est que P_i était minimal parmi les idéaux premiers contenant x (donc i <= 1 avec le théorème...) car sinon on pourrait ajouter un idéal de plus dans la suite d'idéaux de A alors qu'on a supposé que la longueur était maximale, mais ce n'est pas si évident car si P_i n'est pas minimal je peux trouver un idéal premier P de A tel que , mais ce n'est pas sur qu'on aie ...

[leon1789]

Merci pour votre réaction.

Si quelqu'un tombe sur quelque chose, je suis preneur :id: