Application du produit scalaire

[damjour02]

Bonsoir,
voila un exercice que je ne reussit pas :

dans le plan orthonormé, on considere D :
ax+by+c=0
soit A(xa;ya) un point quelconque et H son projeté horthogonal sur D.

1) Demontrer qu'il existe un réel K tels que

Xh=Xa+ka et Yh=Ya+kb

2) Sachant que H appartient a D, Determiner la valeur de k puis les coordonnées de H en fonction de celles de A, a, b et c

En deduire que :

AH=(laXa+bYa+cl)/(racine de(a²+b²))

voila, ps les "l" veulent dire valeur absolue

merci :hum:

[le_fabien]

salut
on sait que le vecteur n(a;b) est un vecteur normal à D
donc ce vecteur est colinéaire au vecteur AH
alors il existe k tel que vecteur AH=k.n
d'où xH-xA=ka et yH-yA=kb

[damjour02]

Merci pour la rapidité! et pour la suite ?

[le_fabien]

comme H appartient à D alors a.xH+b.yH+c=0
en remplaçant xH et yH tu trouves la valeur de k en fonction xA et yA

[damjour02]

ya pas quelqu'un qui peut completer parce que je ne comprends pas... merci

[le_fabien]

bonjour
tu as donc a(ka+xA)+b(kb+xB)+c=0
ka²+kb²+axA+bxB+c=0
donc k=(axA+bxB+c)/(a²+b²)
AH=racine((ka)²+(kb)²)=racine(k²(a²+b²))=racin((axA+bxB+c)²(a²+b²)/(a²+b²)²)
=racine((axA+bxB+c)²/(a²+b²))=|axA+bxB+c|/racin(a²+b²)