Normes

[kaito974]

N1(P)= (sommes des valeurs absoleus des coefficients du polynomes P )

1) Montrer que N1 est une norme sur R[X], j'ai alors montré que
N1(P)>=0
N1(P)=0 Impose P=0
N1(k.P)=k.N1(P)
N1(P+P')=N1(P)+N1(P')

2)N[sub]infini[/sub]=sup[sub]t dans [0;1][/sub]|P(t)| , la norme du sup sur [0,1]

comment montrer que Ninfini et N1 ne sont pas équivalentes?

3)On se restreint au s.e.v F=R[sub]n[/sub][X] avec ( n>=1 fixé) les normes Ninfini et N1 sont elles équivalentes?

J'ai répondu oui car l'on se trouve dans un espace de dimension finie

[ThSQ]

2)N[sub]infini[/sub]=sup[sub]t dans [0;1][/sub]|P(t)| , la norme du sup sur [0,1]

Regarde ce qui se passe avec y'a une norme qui reste constante tandis que l'autre -> +oo. C'est impossible pour 2 normes équivalentes.

[klevia]

L'espace des polynomes sur IR n'est pas un espace de dimension fini. Par contre, soit n fixé, l'espace des polynomes sur IR de degré inférieur ou égal à n est un espace de dimension fini dont une base est (1,X,X²,...X^n).
Oui, il me semble qu'en dimension fini toutes les normes sont équivalentes. Il faut donc faie attention de quel espace de polynomes tu parles.