Complexes (term S)

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Cbaz
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Complexes (term S)

par Cbaz » 25 Nov 2007, 12:15

Bonjour,

J'ai un DM à faire, dont une partie que je n'y arrive pas. Pourrait-on m'aider svp?

Sujet: Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O; vecteur e1 ; vecteur e2 ) unité graphique 1 cm.
Soit A le point d'affixe 3i . On appelle f l'application qui, à tt point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par:

z' = (3iz - 7) / (z - 3i)


1] Recherche des points invariants par f
a) développer (z - 7i) (z + i)
b) Résoudre f(z) = z. En déduire que f admet deux points invariants B et C dont on précisera les affixes.

2] On appelle E le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de E, distinct de B et C, soit M' son image par f.
a) Justifier que l'affixe z de M vérifie: z = 3i + 4e(i¤) où ¤ est un nombre réel
b) Exprimer l'affixe z' de M' en fonction de ¤ et en déduire que M' appartient aussi à E
c) Démontrer que z' = "conjugué" de -z

3] On considère un cercle de centre A, de rayon r>0 . Déterminer l'image de ce cercle par f.


Voici ce que j'ai fait:

1] a) (z - 7i) (z + i) = z² - 6iz + 7
b) (3iz - 7) / (z – 3i) = z
<=> 3iz – 7 = z(z – 3i)
<=> z² - 6iz + 7 = 0

On constate que cette équation correspond au 1]a)
d'où S = {-i ; 7i }

C(0 ; -i) point d'affixe zc = -i
B(0 ; 7i) point d'affixe zb = 7i

2]
Et je bloque ici
J'ai calculé le centre du cercle E qui est de diamètre [BC]. J'ai constaté que cétait les coordonnées de A

Mais je ne vois pas comment faire pour le a)

Pour le b), j'ai fait:
comme z' = (3iz - 7) / (z – 3i) avec z = 3i + 4e(i¤), alors

z' = [3i(3i + 4e(i¤)) - 7] / [3i + 4e(i¤) - 3i]
= [-4 + 3ie(i¤)] / e(i¤)
=3i – 4e(-i¤)
Or 4e(-i¤) est le conjugué de 4ei¤

Comme M d'affixe z = 3i + 4e(i¤) associe le point z' = 3i – 4e(-i¤), par l'applicatin f et qu'on constate que z' est le conjugué de z, soit M' image de M par rapport à l'axe des réels, alors M' appartient à E

Mais je ne suis pas sûre que ce soit juste

c) Je l'ai démontré dans le b), en obtenant z' = 3i – 4e(-i¤)



Noemi
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par Noemi » 25 Nov 2007, 12:37

C(0 ; -i) point d'affixe zc = -i ; c'est C(0;-1)
B(0 ; 7i) point d'affixe zb = 7i ; C'est B(0;7)

calcule les coordonnées du centre du cercle D, puis le rayon
Et applique module (zM-ZD) = R

Cbaz
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par Cbaz » 25 Nov 2007, 12:53

Ok, merci

Pour la question 2] a), j'ai trouvé comme centre du cercle E, les coordonnées du point A, càd A(0;3) d'affixe za = 3i
Pour le rayon du cercle [AB], j'ai d'abord calculé [BC] (diamètre):
|zc - zb| = |-i - 7i|
= |-8i|

puis le rayon:

(1/2) |zc - zb| = |za - zb| = |-4i| = 4

et |za - zb| = |za - zm| car M et B appartiennent au cercle

donc, sous forme exp, on aura zm = 4e(i¤)
Mais il manque le "3i" car zm = 3i + 4e(i¤)

Noemi
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par Noemi » 25 Nov 2007, 12:59

C'est : zm - za = 4e(i¤)

Cbaz
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par Cbaz » 25 Nov 2007, 13:06

ah oui! merci!

et pour le 2]b) et c); c'était juste ce que j'avais marqué?

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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 25 Nov 2007, 13:07

Pour ma part :

1]a) OK

1]b) OK mais si tu veux travailler en équivalence, il ne faut pas oublier d'écrire que z doit être différent de 3i
Quand tu trouves les solutions de z² - 6iz + 7 = 0, tu constates qu'elles sont toutes différentes de 3i
Donc l'ensemble des solutions est bien S = {-i ; 7i }

2]a) E est le cercle de diamètre [BC]
Le rayon du cercle vaut 4
Tu as constaté que A est le centre du cercle E
E est l'ensemble des points M d'affixe z tels que AM=4
AM a pour affixe z-3i
E est l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z-3i|=4 soit z-3i = 4e^(it) où t est l'argument de (z-3i)
Une autre façon de voir les choses : z-3i revient à faire une translation de vecteur -3e2. Le centre du cercle E' (image de E par la translation) se retrouve à l'origine du repère. Ensuite diviser par 4 revient à faire une homothétie de centre 0 t de rapport 1/4. Le cercle E" (image de E' par l'homothétie) est le cercle trigonométrique.

2]b) z' = 3i – 4e(-it)
z' = 3i + 4e(-i(t-pi))
z' s'écrit donc sous la forme 3i + 4e^(it') avec t'=-t+pi
En démontrant la réciproque du 2]a), c'est-à-dire en démontrant que tous les points d'affixe de la forme 3i+4e^(it) sont sur le cercle E, tu montres que le point M' est sur le cercle E

2]c) Le terme conjugué est entre guillemets
Si z = 3i + 4e^(it) alors z' = 3i – 4e(-it) = 3i + 4e(-i(t-pi))
Arg(z'-3i) = pi-Arg((z-3i))
M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées
On peut le vérifier en calculant (z+z')/2 affixe du milieu de [MM']
(z+z')/2=3i + 2(e^(it) - e(-it))
(z+z')/2=(3 + 4 sin t) i
(z+z'/2) est un imaginaire pur

Cbaz
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par Cbaz » 25 Nov 2007, 13:30

Ok, merci bcp, mais pour le 2]a), je pense que je vais prendre la première méthode, car celle avec les translations, je ne l'ai pas très bien comprise:
je n'arrive pas à voir comment tu passes de z-3i à -3e2 (pour la translation) et que "diviser par 4 revient à faire une homothétie de centre 0 t" (le rapport, ça, j'ai compris)

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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 25 Nov 2007, 16:34

As you wish baby !
Si tu prends un point M d'affixe z et que tu considères le point M' d'affixe z'=z-3i alors tu constates que M' est l'image de M par la translation de vecteur -3e2 (ton repère étant 0,e1,e2)
M' a la même abscisse que M, son ordonnée est l'ordonnée de M diminuée de 3

 

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