Les nombres complexes

[pinkfloyd16]

Bonsoir à tous,
J'ai un dm à rendre pour jeudi et je dois dire que même si je m'y prend à l'avance, je reste bloqué sur un exercice dont je vous donne l'énoncé et les questions:

Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe 1 et le cercle de diamètre [O;A] ; O est l'origine. Soit M d'affixe m un point quelconque du cercle, distinct de A et O. On trace les carrés directs MAPN et OMKL. Soient k,l,n,p les affixes des points K,L,N,P.

1°) Faire la figure ---> pas de pb à ce niveau là !! :p
2°) Démontrer que |m - 1/2| = 1/2
3°) Démontrer que l'on a : l = im et p = -im + 1 +i
4°) Démontrer que l'on a : n = (1-i)m +i et k = (1+i)m
5°)Démontrer que le milieu oméga du segment [PL] est fixe (ne dépend pas de la position de M sur le cercle). Justifier que oméga est sur le cercle.
6°) Démontrer que la distance KN est constante. Quelle est la nature du triangle OmégaNK?
7°) Démontrer que le point N est sur un cercle fixe ( indépendant du point M). Donner son centre et son rayon)

Voilà, j'ai tenté de trouver avec les formules de rotation et ce n'est pas expliqué dans les bouquins non plus .....

Merci beaucoup d'avance de m'aider car je suis bloqué ...... merci

[Chimerade]

Bonsoir à tous,
J'ai un dm à rendre pour jeudi et je dois dire que même si je m'y prend à l'avance, je reste bloqué sur un exercice dont je vous donne l'énoncé et les questions:

Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe 1 et le cercle de diamètre [O;A] ; O est l'origine. Soit M d'affixe m un point quelconque du cercle, distinct de A et O. On trace les carrés directs MAPN et OMKL. Soient k,l,n,p les affixes des points K,L,N,P.

1°) Faire la figure ---> pas de pb à ce niveau là !! :p
2°) Démontrer que |m - 1/2| = 1/2
3°) Démontrer que l'on a : l = im et p = -im + 1 +i
4°) Démontrer que l'on a : n = (1-i)m +i et k = (1+i)m
5°)Démontrer que le milieu oméga du segment [PL] est fixe (ne dépend pas de la position de M sur le cercle). Justifier que oméga est sur le cercle.
6°) Démontrer que la distance KN est constante. Quelle est la nature du triangle OmégaNK?
7°) Démontrer que le point N est sur un cercle fixe ( indépendant du point M). Donner son centre et son rayon)

Voilà, j'ai tenté de trouver avec les formules de rotation et ce n'est pas expliqué dans les bouquins non plus .....

Merci beaucoup d'avance de m'aider car je suis bloqué ...... merci

Il est essentiel de bien comprendre les relations entre les affixes et les propriétés géométriques des points et vecteurs du plan qui leurs correspondent. Je ne peux pas ici te détailler ce qui doit se trouver dans ton cours. Les principaux résultats sont les suivants :
y-x est l'affixe du vecteur si x est l'affixe du point X et y celui du point Y. En particulier, si B est le point d'affixe 1/2, m-1/2 est l'affixe du vecteur .
Et est la longueur du segment OA, si a est l'affixe du point A, la norme du vecteur , si a est l'affixe du vecteur .
Une translation de vecteur se traduit par l'ajout de l'affixe v de ce vecteur. Par exemple, si un point M a pour affixe m, et qu'il subit une translation de vecteur d'affixe v, qui le transforme en le point M'. Si m' désigne l'affixe du point M' on aura : m'=m+v tout simplement.
Une homothétie de rapport (réel) et de centre O se traduit tout simplement par une multiplication pure et simple par . Soit M (affixe m) un point du plan, M' (affixe m') son image par l'homothétie de centre O et de rapport , alors :
Une homothétie de centre A (affixe a) et de rapport (réel) : c'est pareil "dans un repère dont A serait l'origine". Par exemple soient les points M (affixe m) et M'(affixe m') tels que M' serait l'image de M dans l'homothétie de centre A et de rapport . Alors, dans le repère dont A serait l'origine, l'affixe de M serait m-a et l'affixe de M' serait m'-a ; donc on a , soit
Une rotation de centre l'origine et d'angle , se traduit par une multiplication par le nombre c'est-à-dire par le nombre . Par exemple, soient M et M' deux points d'affixes respectifs m et m', tels que M' serait l'image de M dans la rotation de centre O et d'angle , alors
Enfin, une similitude est le produit d'une rotation et d'une homothétie. On peut montrer qu'il existe un point invariant et que cette similitude peut être le produit d'une rotation autour de ce point et d'une homothétie de centre ce même point. Alors, une similitude de centre O, de rapport et d'angle est le produit d'une homothétie de rapport et de centre O (traduite par une multiplication par au niveau des affixes) et d'une rotation d'angle autour de O (traduite par une autre multiplication, cette fois par le nombre , et comme multiplier successivement par deux nombres équivaut à multiplier une seule fois par leur produit, la similitude de centre O, de rapport et d'angle , se traduit au niveau des affixes par une multiplication par le nombre .
Si le centre de la similitude n'est pas l'origine, mais est le point C d'affixe c, alors si M' est l'image de M dans cette similitude, on aura :



C'est à peu près tout ce que tu dois savoir. Revenons maintenant à ton problème.

2°) Nous avons dit que si B est le point d'affixe 1/2, m-1/2 est l'affixe du vecteur . Et que est la norme du vecteur BM. Or B est le centre du cercle de diamètre OA. Le diamètre de ce cercle est 1, son rayon 1/2. Comme M appartient au cercle, la longueur BM est bien 1/2 !
3°) L est l'image du point M dans la rotation de centre O et d'angle : donc .
P est l'image de M dans la rotation de centre A et d'angle donc :

Je te laisse faire la suite...J'espère que tu as compris le principe !