2 réels a et b tels que pour tout réel x, x^¨4-20x-21=(x+1)(x-3)((x+a)²+b)

[poubelle100]

Bonjour,

S'il vous plaît, pouvez-vous m'aider.

On considère les fonctions f(x) = x² et g(x)=racine(20x+21)
1. Préciser les ensembles de définition de f et g.
2. Représenter Cf et Cg, courbes respectives de f et g dans un même repère.
3. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection f et g.
4. a) Montrer que si un point M(x;y) est commun à Cf et Cg ses coordonnées vérifient
y = x²
x^4-20x+21 = 0
b) Démontrer qu'il existe 2 réels a et b tels que pour tout réel x,
x^¨4-20x-21=(x+1)(x-3)((x+a)²+b)
c) Démontrer que les 2 points trouvés graphiquement sont les seuls points
d'intersection de Cf et Cg

1.
Df=R

20x+21 >= 0
20x >= -21
x >= -21/20
Dg=[-21/20;+infini]

3.
points d'intersection de f et g
M1(3;9) et M2(-1;1)

4.a)
y=x²
y=3²
y=9

x^¨4-20x-21=0
3^¨4-20*3-21=0
81-60-21=0

y=x²
y=(-1)²
y=1

x^¨4-20x-21=0
-1^¨4-(20*-1)-21=0
1+20-21=0

4.b)
Prenons x=3
x^¨4-20x-21=(x+1)(x-3)((x+a)²+b)
x^¨4-20x-21=(x+1)(x-3)((x+a)²+b)
0=(4)*(0)*((x+a)²+b)
0=0

Je n'arrive pas à démontrer qu'il existe 2 réels a et b tels que, pour tout réel
x, x^¨4-20x-21=(x+1)(x-3)((x+a)²+b)
et je n'arrive pas cà faire la question c)


Merci.

[Galt]

As-tu vu les factorisations de polynômes ?
Sinon, tu développe , puis et tu dis que le produit doit donner en disant que les coefficients sont égaux (tu pose , ce sera plus simple)
Tu vas obtenir 4 équations (une pour les coefficients de , qui est , une pour , etc, etc
Ca va te permettre de trouver a et b.

[Bertrand Hamant]

Résultat des courses tu trouves a = 1 et b = 6


soit ( x + 1 ) ( x - 1 ) [ ( x + 1 ) ² +6 ] = x^4 - 20x - 21

[poubelle100]

Résultat des courses tu trouves a = 1 et b = 6


soit ( x + 1 ) ( x - 1 ) [ ( x + 1 ) ² +6 ] = x^4 - 20x - 21

Je ne comprends pas comment tu en ai arrivé à ce résultat.

Merci

[Bertrand Hamant]

( x + 1 ) ( x - 3 ) [ ( x + 1 ) ² +6 ] = x^4 - 20x - 21


voilà au lieu de -3 j'ai - 1 j'ai tapé trop vite développes et tu verras qu'on retombe sur la forme dévelopée

[poubelle100]

As-tu vu les factorisations de polynômes ?
Sinon, tu développe , puis et tu dis que le produit doit donner en disant que les coefficients sont égaux (tu pose , ce sera plus simple)
Tu vas obtenir 4 équations (une pour les coefficients de , qui est , une pour , etc, etc
Ca va te permettre de trouver a et b.

Je ne comprends pas exactement ce que je dois faire.
j'ai essayé :
(x²-2x-3)(x²+2ax+a²+b)
c=a²+b
(x²-2x-3)(x²+2ax+c)
x^4+2ax^3+cx²-4ax2-2x^3-2cx-3x²-6ax-c
x^4+(2a-2)x^3+(c-4a-3)x²+(-2c-6a)x-c
x^4-20x-21=x^4+(2a-2)x^3+(c-4a-3)x²+(-2c-6a)x-c
alors 20x=(-2c-6a)x
20=-2c-6a
c=a²+b
20=-2a²-2b-6a
2b=(-2a²-6a)/20
2b=2a(-1a-3)/20
b=a(-1a-3)/20

21=a²+b
a²=21-b
a=racine(21-b)
a=-racine(21-b)

b=a(-1a-3)/20
b=racine(21-b)(-racine(21-b)-3)/20

[Galt]

Petite erreur

x^4-20x-21=x^4+(2a-2)x^3+(c-4a-3)x²+(-2c-6a)x-c

C'est
x^4-20x-21=x^4+(2a-2)x^3+(c-4a-3)x²+(-2c-6a)x-3c
Maintenant on égalise les coefficients
2a-2 = 0 (pour x^3)
c-4a-3 = 0 (pour x^2)
-2c-6a=-20 (pour x)
-3c = -21

Donc a=1 et c =7, on vérifie dans les deux équations du mileiu
7-4-3 = 0 c'est bon
-14-6=-20 c'est bon
Puis c=a^2+b donc b=6
et (x^4-20x-21)=(x^2-2x-3)((x+1)^2+6)

[poubelle100]

Petite erreur

C'est
x^4-20x-21=x^4+(2a-2)x^3+(c-4a-3)x²+(-2c-6a)x-3c
Maintenant on égalise les coefficients
2a-2 = 0 (pour x^3)
c-4a-3 = 0 (pour x^2)
-2c-6a=-20 (pour x)
-3c = -21

Donc a=1 et c =7, on vérifie dans les deux équations du mileiu
7-4-3 = 0 c'est bon
-14-6=-20 c'est bon
Puis c=a^2+b donc b=6
et (x^4-20x-21)=(x^2-2x-3)((x+1)^2+6)

Encore merci, cette fois-ci, c'est très clair :
Je n'avais pas remarqué qu'il y avait 4 équations, j'en avais trouvé que 2. Elles ne me permettaient pas de trouver a ou b.
20=-2c-6a
21=c=a²+b
Je voulais trouver tout de suite b, sans au préalable trouver c.
Je ne pensais pas à tort que les 2 autres équations = 0, étaient utiles.
Merci.