Point fixe

[sensor]

Bonjour je suis bloqué sur un exercice dont voici l'énoncé :
Soit f une fonction continue de R+ dans R+ telle que lim quand x tends vers + l'infini de f(x)/x= l avec l<1.
Montrer que f admet un point fixe.
Je pensais au théorème des accroissements finis avec une fonction auxiliare mais ici on n'a pas de borne fini.
Je pense particulièrement à Rolle que j'ai essayé d'appliquer avec les fonctions g(x)=f(x)/x ou g(x)=f(x)-lx mais sans vraiment à montrer qu'il existe c€ R+ tel que f(c)=c.
Pouvez vous me mettre sur la piste.
Merci.

[abcd22]

Bonjour,
Je pense que tu cherches des choses trop compliquées, un point fixe non nul de f vérifie f(x)/x = 1, on sait que f(x)/x prend des valeurs plus petites que 1, il suffit de montrer qu'elle prend nécessairement des valeurs supérieures ou égales à 1 (sauf dans un cas particulier...) et d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

[sensor]

j'y ai réfléchis mais je ne vois pas comment tu montres qu'elle prend des valeurs supérieus à 1... :hum:

[abcd22]

Si f(0) = 0, on a un point fixe, sinon que peut-on dire de f(0)?

[ThSQ]

Sépare les cas f(0)=0 et f(0) > 0

[busard_des_roseaux]

salut,
je pense que c'est faux, voiçi un contre-exemple:



ah oui, zut mon contre-exemple ne marche pas. :hum:

[sensor]

si f(0)>0, alors (f(x)-f(0)(x-0))>0 =f'(0)

[busard_des_roseaux]

Il suffit d'étudier

1er cas: et c'est ok.
2ème cas: et on applique le thm des valeurs intermédiaires à .
finalement, c'est un bon exo de Terminale S. :zen:

[sensor]

le problème ce sont les bornes .
Il nous faut une borne finie et pas infinie et faudrait un y tel que phi(y)<0.
c ça le prob

[busard_des_roseaux]

si alors
si alors (d'après la règle des signes.)

[sensor]

Merci.
J'avais oublié de traduire en langage formel la définition de la limite.
Merci pour le tuyau. Exxectivement je me compliquais un peu trop en pensant à Rolle et Acroissement finis.
Au revoir et bonne soirée.
:we: