Logarithme népérien

[The fifi]

Bonjour,
Voici un exercice que j'ai à faire et j'aurais besoin d'aide pour certains points.Voici l'énoncé :

On se propose de montrer qu'il existe un point M0 de T, et un seul, tel que la distance AM0 soit minimale. Cette distance est alors appelée distance du point A à la courbe et notée d(A;T)

A]Etude d'une fonction auxiliaire.
1°démontrer que pour tout x>0, on a : lnx < x^2 + 1
2°Soit f la fonction sur ]0 ; + infini[ par f(x)=x-3 + (lnx/x)
a) calcluler les limites de f.
b)étudier les variations de f ( on pourra utiliser l'inégalité obtenu à la question 1).
c) prouver qu'il existe un réel alpha>0 unique tel que f(alpha)=0 et déterminer un encadrement de alpha de longeur 10^-1.
d) déduire des questions b) et c) le signe de f(x).

B]Distance du point A(3;0) à la courbe T d'équation y=ln(x).

Soit T la courbe d'équation y=ln(x) dans un répère othonormal du plan (unité de graphique 4 cm).

1°On considère la fonction d qui a tout x réel strictement positif associe la distance AM, où A est le point de coordonnées (3;0) et M le point de T d'abscisse x.
a) exprimer d(x) en fonction de x ; calculer d'(x) et montrer que d'(x) est du signe de f(x).
b) en déduire que la fonction d admet un minimum en alpha.
2°On note M0 le point d'abscisse alpha et (T0) la tangente a T en M(0).
a)Montrer que (AM0) est perpendiculaire à (T0)
b)Montrer que ln alpha = - alpha^2+3alpha. En déduire une constuction graphique de alpha puis de M0 et (T0).

Merci d'avance! bonne journée à vous.
PS: pour faire cet exercice je n'ai que 5 jours donc pourriez-vous jeter un coup d'oeil rapide si vous en avez le temps. :)

[fonfon]

salut,

pour la 1) tu peux etudier rapidement la fonction x->lnx-x²-1 et montrer que c'est <0

pour le reste je pense que si tu relies ton cours tu pourras avancer

A+

[The fifi]

ouii...merci c'est ce que j'ai fais.
mais la je bloque aux limites...j'ai trouvé:

lim(x tend vers + infi) f(x) = lim (...) x^2/x = lim (...) x = +inf
car en + - inf toute puissance de x l'emporte sur ln x


lim(x tend vers 0) f(x)=? On pose X= lnx/x x tend vers 0 et X tend vers - infini.
f(x) est alors = lnx/X - 3 + X lin (...) ln/X - 3 +X = - linfini.

Est - ce le bon raisonnement?

[fonfon]

pour les limites c'est à revoir

on a donc

....

[fonfon]

pour la 2) la redaction n'est pas top

donc

à toi de completer

[The fifi]

je bloque pour toute la partie 2).....pourrais tu m'aider?
et pour les limites j'ai revu merci...

[fonfon]

re, je te donne une indication tu dois avoir une formule qui te donne la distance entre deux points....

[The fifi]

bonjour,
donc pour la partie B 2 a j'ai fait d(x) = rac((x-3)² + (lnx-0)²
d(x) = rac((x-3)²+lnx²) puis je mettre ensuite que d(x) = x-3 + lnx car la racine au carrée s'annule ?!
donc aprés sinon j'ai fait : d(x) = x-3 + lnx est de la forme u+v donc d'(x) = 1+ 1/x = x+1 /x
d'(x) = x+1 /x > 0 car x >0 donc du même signe que f .

ensuite pour le b je bloque

[fonfon]

non, tu ne peux pas faire sauter la racine carré comme 9a

tu as

donc ici calcule d'(x) c'est de la forme de dérivée

et quand tu vas calculer la dérivée tu vas t'apercevoir que c'est bien du signe de f(x)....
A+

[The fifi]

ha ok...je coryais que je pouvais le faire.....mais merci

et comment on déduit que la fonction d admet un minimum en alpha?

bonne soirée

[fonfon]

re,

ben tu sais que d'(x) est du signe de f(x) or pour trouver les extrema d'une fonction il suffit de regarder ou la dérivée de la fonction s'annule ici il faut donc voir qd d'(x)=0 ce qui equivaut à f(x)=0 or d'apres question A) 2) c) tu as montrer que f(alpha)=0 ce qui repond à la question

je te laisse finir car sinon c'est moi qui aurait fait ton DM

A+

[The fifi]

ok ;) merci

[The fifi]

bonjour,
Donc je suis bloqué pour le 2/ de la partie B !!
On doit montrer (AM0) perpendiculaire à (T0) .... on sait déjà les coordonnées de A( 3;0) , M0 (alpha; ln x) et T0 étant une tangente a comme équation f'(a) (x-a) +f(a) mais je ne vois pas ce qu'il faut faire !! Merci de m'aider au plus vite ce serait sympathique de votre part. Bonne journée et merci d'avance.