Equation differentielle

[robertorobert]

Bonjours à tous, voila un exercice qui me pose probléme : On note f(t) le nombre de ménage equipés d'un portable ( t sera exprimé en années et f(t) en millions de ménages)
On pose comme condition que t=0 en 1980 et on a f (0)=0.01
Le modéle de Verhulst estime que sur une periode allant de 1980 à 2020, f est solution de L'EQUATION DIFFERENTIELLE :
(1) y'= 0.022y(20-y)

a) on pose u =1/f
Demontrer que f est solution de (1) si et seulement si u est solution de l'equation differentielle :
(2) y' =-0.44y+0.022
b) resoudre (2) et en deduire l'ensemble des solutions de (1)
l
es autres questions je ne l'ai pas encore traitées mais voilà ce que j'ai fait pour ce a) et b)

a) j'ai dit que u'= (1/f)'
d'ou u'= - f '/f^2
aprés je reprend (1) et je dit que u' = - [ 0.022f(20-f) / f^2]

-[ 0.022(20-f)/f] = -[0.44-0.022f/f] = -[ 0.44/f - 0.022] = - [ 0.44*1/f -0.022] = -0.44u + 0.022

d'ou u'= -0.44u + 0.022 y'=-0.44y + 0.022
( est-ce juste ??)

b) (2) = ke^-0.44x + (0.022/0.44) mais aprés je n'y arrive pas ... pouvez vous m'expliquez svp

[hellow3]

Salut.

a.Je suis d'accord avec toi.

b.
Dans a., tu as montré que f est solution de (1) ssi 1/f est solution de (2).
tu as montré que f=ke^-0.44x + (0.022/0.44) est solution de (2), donc 1/f est solution de (1).

[robertorobert]

merci ! je vais continué l'exo je vous recontacte si j'ai de nouveau un probléme

[robertorobert]

J'ai a nouveau un probléme : j'ai demontrer que f(t) etait defini sur [0; +l'infinie[ par : 20/ 1+1999e^(-0.44t)
sachant que f était aussi egale a 1/0.05+99.95e^(-0.44t)
( on multiplie numérateur et dénominateur par 20)

la question qu'on me pose ensuite est la suivante : demontrer que pour tous t de l'ensemble de definition [0; +l'infinie[ , on a 0
Pouvez vous m'expliquez la methode svp... je sais qu'il faut que je démarre pas 0<...<20 et aprés faire des operations afin d'obtenir 0

[hellow3]

20/ (1+1999e^(-0.44t))

La méthode est simple, pour savoir comment commencer,regardes ce que tu veux montrer:
20/ 1+1999e^(-0.44t)=20* 1/ (1+1999e^(-0.44t))
Il faut donc montrer que la fraction est inférieure à 1 et superieure à 0.

Ca t'aides?