Quadratique spé math

[vince35400]

salut à tous j'ai un petit soucis sur un exo de spé math pouvez vous m'aidez?

1)soit x un entier impair.

en établissant une table modulo 8, donner le reste de la division de x² par 8

x[ 1 3 5 7 9 11 13
x² 1 1 1 1 1 1 1 (8)

le reste de la division de x² par 8 est de 1



2)résoudre l'équation sur N x²=8y+1

j'en déduit de la table modulo 8 que x est forcement impair.

y est donc le quotient de la division de x² par 8, x et y ont donc un nombre infini de valeur, est-ce exact, j'ai l'impression d'avoir oublié des étapes?

enfin en 3) On veut tracer sur l'écran d'une calculatrice comportant 320 points de large sur 200 points de haut, les points à coordonées entières de la courbe d'équation y = x²/8 - 1/8

le repère choisi a son origine en bas à gauche de l'écran, et chaque point de l'écran a pour coordonées sa position à l'écran -1 ( par exemple, le point en haut à droite aura pour coordonées ( 319 : 199)) combien de points pourra- ton tracer?

en changeant l'expression y= x²/8 - 1/8 je reviens à celle de départ x²=8y +1
39²= 190199

on pourra donc tracer 39 points, est- ce exact?

svp aidez moi, merci d'avance
vince^^

[bruce.ml]

Salut,

pour la question 1) il faut quand même prouver quelque chose, là tu as conjecturé que le reste était 1, maintenant il faut le prouver !

ensuite pour la 2) il faut prouver qu'il n'y a pas de solution pour x pair, je n'ai pas compris ton argument il me semble faux. Et ensuite pour x impair il faut dire quelle valeur de y convient. Après avoir fait la question 1) tu trouveras ça facile.

et enfin pour la question 3) je n'ai pas compris ce que tu as fait. tu sais qu'il n'y a une solution que pour x impair. Donc il y a maximum 320/2 = 160 points solutions. Ensuite il faut regarder ceux pour lesquels y reste dans l'écran.

[vince35400]

re pour la question 1 peut-on remplacer x par 2k+1.

on aurait un nombe impaire, (2K+1)² = 4k²+4K+1
je ne vois pas comment transformer cette expression en 8y+1

pour la 2 il suffit de montrer que 8y+1 ne peut etre pair puisque 8y = 2(4k) = 2K ->>> 8y + 1 = 2k+1 (impaire)

pour la 3 je ne comprend pas pourquoi tu ne voulait pas plutot dire 320/2 ?

[bruce.ml]

re pour la question 1 peut-on remplacer x par 2k+1.

on aurait un nombe impaire, (2K+1)² = 4k²+4K+1

jusque là c'est très bien, mais 4k²+4k+1 = 4(k²+k) +1
pourquoi k² + k est-il pair ?

pour la 2 il suffit de montrer que 8y+1 ne peut etre pair puisque 8y = 2(4k) = 2K ->>> 8y + 1 = 2k+1 (impaire)

ok là ça me va. Donc maintenant il faut chercher les solutions pour x impair

pour la 3 je ne comprend pas pourquoi tu ne voulait pas plutot dire 320/2 ?

erreur de recopiage, j'ai édité dans le premier post

[vince35400]

k²+k pair car = a k(k+1) si k impair, k+1 pair. si k pair, k+1 impair. le produit d'un nombre impaire avec celui d'un nombre pair est un nombre pair

ainsi, k(k+1) + 1 est un nombre impair comme 8y + 1.

mais je ne vois pas comment montrer que le reste est toujours 1

[bruce.ml]

Tu viens de montrer que le carré d'un nombre impair était de la forme 8y + 1. Que vaut 8y+1 modulo 8 ?

[emdro]

1)soit x un entier impair.

en établissant une table modulo 8, donner le reste de la division de x² par 8

x[ 1 3 5 7 9 11 13
x² 1 1 1 1 1 1 1 (8)

Bonjour,

Que veulent dire ces congruences?
Ce ne serait pas que x² est congru à 1 modulo 8?
Et donc que x²=8y+1 avec y un entier?

Edit: J'espère ne pas interférer... Sinon, je supprime mon message.

[vince35400]

elles nous permettent de conjecturer que le reste est 1 mais ne le démontrent pas.

[emdro]

Si, deux nombres congrus modulo 8 auront des carrés congrus modulo 8, et donc il suffit d'essayer 1,3,5 et 7.

[vince35400]

d'accord j'ai compris k(k+1)= 1(8) puisque que 8y+1 = 1(8)

donc le reste est 1

merci pour votre patience.
a une prochaine fois

+Vince

[emdro]

Je ne suis pas absolument certain que tu aies compris...
L'idée est plutôt de remarquer que si a=b[8] alors a²=b²[8] (= pour modulo). Donc il est inutile de poursuivre ta table jusqu'à 13, car les nombres impairs sont tous congrus à 1, 3 5 ou 7 modulo 8. Donc en observant les carrés de ces nombres modulo 8, tu auras tous les cas de figure possibles.