DM fonction exponentielle

[boubas]

f est la fonction définie sur R* par f(x)= x.e 1/x et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1. Déterminez les limites de f aux bornes de l'intervalle ]0; + infini[.
2. Vérifier que pour tout x strictement positif :
f(x)-x-1=((e 1/x-1) / (1/x))-1

Déduisez-en la limite de f(x)-x-1 en + infini, et démontrez que la droite delta d'équation y=x+1 est saymptote à C. On admettra que pour tout x strictement positif, C est au-dessus de delta.

3.Etudiez les variations de f sur ]0 ; + infini[ et dressez son tableau de variations.


4. Déterminez les limites de f sur ]- infini; 0[

5. Démontrer que la droite delta d'équation y=x+1 est asymptote oblique à C, on admet que pout tout réel x strictement négatif, C est en -dessous de delta.

6.On note g la fonction définie sur ]- infini;0[ par :
g(x)=f(x) si x strictement inférieur à 0 et si g(0)=0

a) Déterminre lim (g(x)+g(0))/x quand x tend vers 0
b)Déduisez-en que g est dérivable en 0
c)Etudier les variations de g sur l'intervalle ]-infini; 0] et dresser son tableau de variations


Je suis vraiment coincée, je dois prendre des cours de maths mais le prochain c'est mardi, or je dois rendre ce dm pour lundi, et j'arrive pas à avancer même la question 1 me pose problème (lim e 1/x = ????? quand x tend vers + infini et vers -1). Bref si pouviez me donner un petit coup de main ça me dépannerait bien. Merci d'avance. Bonne soirée

[freud]

pour la premiere question en plus l'infini, t'as exp(1/x) qui tend vers exp(0) donc qui tend vers 1. Et x qui tend vers plus l'infini. Tu en déduis que xexp(1/x) tend vers plus l'infini.

En 0+, t'as exp(1/x) qui tend vers plus l'infini et x qui tends vers 0. Mais comme exp est plus fort que x. xexp(1/x) tend vers plus l'infini en 0.

là 2 c'est immédiat, t'as (xexp(1/x)-x)-1 = ((exp(1/x)-1)/(1/x))-1

Donc ensuite on a (exp(1/x)-1)/(1/x)-1 en plus l'infini on reconnait que (exp(1/x)-1)/(1/x) est équivalent à (exp(x)-1)/(x) en 0 dont la limite est égale à la dérivé de exp(x) en 0. d'où exp(0)=1
et donc la limite en plus l'infini de (exp(1/x)-1)/(1/x) vaut 1.
On en déduit alors que (exp(1/x)-1)/(1/x)-1 tend vers 0 en plus l'infini.
Et donc f(x)-x-1 tend vers 0 en plus l'infini soit y-x-1 tend vers 0 en plus l'infini et donc y=x+1 est assymptote à f(x) en plus l'infini.

on en est à la question 3
On a f'(x)= exp(1/x)- (1/x)exp(1/x)= (1-(1/x))exp(1/x)
dont le signe dépend exclusivement de celui de 1-(1/x) négatif entre 0 et 1 et positif entre 1 et l'infini. Donc f est croissant entre 1 et plus l'infini et décroissant entre 0 et 1. De plus on sait déjà que f tend versplus l'inifin et plus finie et 0. A rajouter dans le tableau de variation f(1)=e

question 4

en moins l'infini on a exp(1/x) qui tend vers exp(0) et donc vers 1 et x qui tend vers moin l'infini on en déduit que xexp(1/x) tend vers moin l'infini en moin l'infini.

En 0- on a exp(1/x) qui tend vers 0 et x vers -l'infini comme exp est plus fort que x on en déduit que xexp(1/x) tend vers 0 en 0-.

question 5

c'est la même que le 2 mais en - l'infini.

question 6
a)
on a (g(x)+g(0))/x = f(x)/x pour x strictement inferieur à 0. Et lim f(x)/x en 0- sa vaut limite en 0- de exp(1/x) qui vaut 0.
b) g est derivable en 0, car (g(x)-g(0))/x possède une limite finit (0) quand x tend vers 0.
c) On a (1-(1/x))exp(1/x) dont le signe dépendde (1-(1/x)) donc toujour positif. On a alors g croissant sur - l'infini 0. en 0 il vaut 0 et en -l'infini il tend vers - l'infini.
Bonne appétit.