Petit exo sur les series entières

[pouik]

Bonsoir,
Pourriez-vous m'aider à résoudre ce petit exercice sur lequel je seche totalement. Merci d'avance pour votre aide.
On rappelle que . Déterminer le rayon de convergence de la série entière et calculer sa somme en tout point de l'intervalle ouvert de convergence. Que se passe-t-il aux bornes de cet intervalle ?

[B_J]

Salut;
pour determiner le rayon de cv , tu peux appliquer le critere de d'Alembert
et pour determiner la somme , decompose la farction rationnelle en elts simples
l'etudes aux bornes se fait en remplacant x par +ou- R

[pouik]

Je trouve R=1. Est-ce correct ?

[B_J]

oui c'est ca

[pouik]

Bonsoir,
La décomposition en éléments simples me donne :

Mais après je ne vois pas bien comment continuer, je ne vois pas comment utiliser la formule avec le logarithme.

MERCI d'avance pour votre aide. :zen:

[xyz1975]

Bonsoir
Je vous conseille de dériver la série entière une ou deux fois puis calculer le rayon c'est plus simple.
On sait que le rayon est le même si on dérive ou on intégre.

[pouik]

Bonsoir,
Merci mais en fait j'ai déjà trouvé que le rayon de convergence valait mais on problème c'est pour calculer la serie...
des idées ?

[xyz1975]

Dérivez deux fois la série vous trouvez :
2Somme [{x^(2n)}/n] ensuite posez y=x².
Faite attention à la dérivation par rapport à y car c'est une composée de deux fonctions.

[pouik]

désolé mais je ne comprends pas en quoi une derivation me permettra de calculer la serie... :briques:

[xyz1975]

Exemple :
Somme[(1/n)x^n] si on dérive on obtients une série géométrique pour calculer la somme demander il suffit d'integrer le resultat.
Ce que je vous demande de faire ici.

[pouik]

D'accord, je comprends, donc je suis d'accord qu'on arrive après deux dérivations successives à :

soit :

mais je ne comprends pas pourquoi pour parlez de derivation avec y ?? :hum:

[xyz1975]

Somme(x^n) qui est égal à 1/(1-x) il faut dériver la série avec y ensuite revenir à x.