Etude d' une fonction

[xavier005]

Bonjour, est ce que quelqun pourait me donner un petit coup de main pour l' exercice suivant.
Soit d la fonction definie sur ]-1;+infini[ par l' egalite d(x)= e^((x)/(x+1))
1)Calculer la fonction derivee d'. En deduire les variations de d.
ma reponse:
d'(x)=(e^((x)/(x+1)))/((x+1)^2))
donc comme d'(x) est positif , on peut en deduire que d est strictement croissante sur ]-1;+infini[.

2)Determiner les limites de d en -1 et en + infini.
je sais qu' en -1x ,d tend vers 0 et qu'en +infini , d tend vers 2.7, mais je trouve ceci avec la calculatrice, je ne sais pas comment le prouver.
j' ai essayer de chercher les differentes limites du produit mais je n' aboutit pas a ce que je devrais trouver:
lim((x)/(X+1)) en -1x=-infini et lim((x)/(X+1)) en +infini= 1.
lim(e^x) en -1=e^-1(0.36) et en + infini=+ infini

3)Montrer que , pour tout x>-1, on dispose de l' encadrement 0<=d(x )<=e
ma reponse :
comme d(x) est strictement croissante , on a:
0<=d(x)
et comme en + infini , d(x) tend vers 2.7 ; 2.7>2.7, on a :
d(x)donc on a:0<=d(x )<=e

merci beaucoup

[rene38]

Bonjour

Pour tes limites, écris que

donc

[xavier005]

re,
merci , je suis arriver a trouver les limtes.
est ce que tu pourais m' aider pour la suite de l' exercice stp.
Partie B
Soit f la fonction definie sur ]-1;+infini[ par l'egalite f(x)= x+1-e^((x)/(x+1)) et Cf sa courbe representative.
1)Demontrer que la droite D d' equation y= x-e+1 est asymptote a la courbe Cf. Preciser la position relative de Cf et de D.
ma reponse:
j' etudie la limite de f(x)-y= x+1-e^((x)/(x+1)) -(x-e+1)= -e^((x)/(x+1))-e
Or je ne vois pas comment etudier la limite de ceci, je sais qu' il faut s' aider des limites trouvees dans la partie A, mais ca devrait tendre vers 0 et moi je trouve pas ce resultat.

merci beaucoup

[LN1]

Bonjour

Simple erreur de signe
et non

Sous la bonne forme, et sachant que tu as prouvé que , tu dois pouvoir conclure

[xavier005]

Bonjour,
merci pour votre aide, je suis arriver a conclure et je trouve bien 0 pour la limite de f(x)-y.
Par contre pour la position , il faut que j' etudie le signe de f(x)-y , c' est a dire:
-e^((x)/(x+1))+e , mais je vois pas comemnt en deduire le signe , mais je sais qu' il est suppose etre positif car Cf se trouve audessus de D sur ]-1;+infini[

merci beaucoup

[LN1]

Résous donc l'inéquation
e - e^{x \over x+1} > 0
cela te donnera sur quel intervalle Cf est au dessus de (d) (et confirmera ton intuition graphique)

[xavier005]

re, merci pour ton aide.
est ce que tu pourait me dire si mon inequation est correcte stp.
e - e^(x \ x+1) > 0
- e^(x \ x+1) > -e
e^(x \ x+1) > e
donc on peut ecrire:
(x/x+1)>1
donc on S: x< -1 .

merci de me corriger

[LN1]

e - e^(x \ x+1) > 0 oui
- e^(x \ x+1) > -e oui
e^(x \ x+1) > e non mulitiplier par -1 change le sens de l'inégalité : à corriger (sens de l'inégalité)
[I]donc on S: x 0"/> toujours vrai sur ]-1 ; + oo[ donc Cf est au dessus de (d)

[xavier005]

re, meri encore pour ton aide.
desole de encore te derranger , masi je poursuis toujours mon probleme.
2)a)Pour tout reel x>-1 calculer f'(x) et verifier l' egalite f''(x) = ((2x+1)/(x+1)^4)*e^((x)/x+1)).
donc pour f'(x) je trouve: 1- ((e^(x/x+1))/((x+1)^2) ou (x^2+2x+1-e^(x/x+1))/((x+1)^2)
mais lorsque je calcule f''(x) je trouve : (2(X+1)^3-e^(x/x+1))/(9x+1)^4))

b)En deduire le tableau de variationde f' ( on pourra admettre que la limite de f' en -1 est 1).
Est ce que la seule valeur pour laquelle la fonction f' s'annule est -1? car -1 n' est pas dans l' intervalle donc la fonction f' est strictement croissante sur ]-1;+infini[ , non ?

[LN1]

Ta dérivée première est bonne mais ta dérivée seconde est fausse:
*un 9x + 1 surprenant au dénominateur
*au numérateur, il semble que tu n'aies calculé que u'v oubliant alors uv'


ta dérivée seconde s'annule en -1/2, est négative puis positive, ta fonction f' est donc décroissante puis croissante et atteint son minimum en -1/2
Tu peux alors tracer son tableau de variation.


Ta remarque suivante correspond à une autre question: déterminer pour quelle valeurs de x, f'(x) = 0 et donner son signe

on te dit que , tu remarques que f'(-1/2) est négatif. Donc f'(x) s'annule une fois entre -1 et -1/2

tu remarques aussi que f'(0) = 0 Donc f'(x) s'annule une seconde fois.
D'après le sens de variation de f', f'(x) ne peut pas s'annuler davantage.
Tu pourras alors construire le tableau de signe de f'(x).

[xavier005]

Bonjour,
merci beaucoup pour tona aide .
Est ce que tu juste me corriger la suite stp.
4) Etudier les variations de f.
f(x)= x+1-e^((x)/(x+1))

f'(x)=1- ((e^(x/x+1))/((x+1)^2)
donc on sait que sur ]-1;+ infini [ f'(x) s'annule pour x=(eviron)=0.71 et pour x=0.
j' ai essayer d' etudier le signe de f'(x) avec un tableau de signe mais je n'abouti pas a ce que je devrais trouver:
f est croissante sur ]-1;0.71[U[0;+ infini[ et decroissante sur ]0.71;0[.

b)Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de definition.
en -1(+) f(x) tend vers 0 :
car e^(x/x+1) en -1(+) tend vers 0 et (x+1) en -1 tend aussi vers 0.

en + infini, f tend vers + infini :
car e^(x/x+1) en + infini tend vers e et (x+1) en + infini tend vers + infini


merci beaucoup

[LN1]

Bonjour,

je réponds un peu tard si l'exercice est pour aujourd'hui mais on ne sait jamais...

puisque ta dérivée est décroissante sur ]-1 ; -1/2[, elle est d'abord positive puis nulle (en -0,71 je te fais confiance et n'ai pas vérifié) puis négative
ensuite sur [-1/2 ; + oo[ ta dérivé f' est croissante et s'annule en 0, applique le même raisonnement pour déterminer son signe.

Pour tes limites, c'est bon