Polynome racine évidente et factorisation

[marocain94]

bonjour j'ai besoin d'un peu d'aide pour cette exo merci d'avance !

je dois determiner les réels ;) et ;) tels que p(x)=x^4 - x³ + ;)x² + ;) admette 1-i comme racine et factoriser p(x) dans R(x)

est ce que je dois commencer par remplacer x par (1-i) pour simplifier l'expression?

[marocain94]

je trouve p(x) = 4i + 1 + ;) (-2i) + ;) je trouve donc ;)=-4i et ;)= (1/2i)

est ce que c'est juste?

[prody-G]

salut,

si sont des réels ça ne peut pas être ça.
Tu sais que p(1-i)=0 et en remplaçant x par 1-i tu auras quelquechose de plus simple. Il te suffit alors d'isoler partie réelle et imaginaire. (je trouve : )

[marocain94]

la je trouve ;) =2 et ;)=-1 avec ;)+1 + i(-2;)+4) = 0

[tize]

Bonjour,
je confirme le résultat de prody-G,

[marocain94]

je comprend pas j'ai pourtant bien calculé , alpha et béta sont des réels d'après l'énoncé 'jai mis sous forme X+iY et ensuite que c'est nul donc X=0 et Y=0

[marocain94]

p(1-i) = 4i + 1 + ;) (-2i) + ;) si on remplace ;)=1 et ;)=2 sa marche pas?

[tize]

non, moi j'ai .

[marocain94]

je confirme autan pour moi dsl, et pour la factorisation de p(x) dans R(x) je dois proceder comment?

[tize]

Tu as déjà une racine de P.
P est à coefficient réelle, les racines complexes sont donc conjuguées, ensuite tu factorise.........

[marocain94]

donc il faut factoriser par le conjugué de 1-i qui est 1+i??

[marocain94]

peut-on utiliser la méthode de division euclidienne pour factoriser si oui il faut diviser par quoi?

[marocain94]

p(x)=x^4 - x³ + ;)x² + ;) avec ;)=1 et ;)=2 donc p(x)=x^4 - x³ + x² + 2

Une racine de ce polynôme p est 1-i

Donc il existe un polynôme g tel que pour tout réel x p(x) = (x -(1-i)) . g(x).

Ce polynôme g est le quotient de la division euclidienne du polynôme f par le polynôme x + 2.

?????????????

[prody-G]

Tu sais qu'un polynôme P de degré n est de la forme : où est le coefficient dominant du polynôme et une racine de P.
Tu sais que (1-i) et (1+i) sont racines de P, donc tu peux factoriser p(x) par (x-(1-i)) et (x-(1+i)), => p(x) = (x-(1-i))(x-(1+i))g(x) avec g un polynôme de degré 2 puisque p est de degré 4.
Donc g(x)=ax²+bx+c. Et il te reste à identifier a,b et c.

[marocain94]

je trouve en fesant le division euclidienne de x^4 - x³ + x² + 2 par x²-2x+2 un quotient de x²+x+1 en fesant le produit quotient diviseur je trouve le dividende donc je pense avoir bon??