soit n un entier naturel au moins égall à.
prody-G a écrit:je ne penses pas que ce soit vrai, cela voudrait dire qu'un entier est impair si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont impairs, or par exemple 27 est impair mais D(27)=4 pair.
Sinon pour démontrer 1)a. Un raisonnement de dénombrement peut être. Soit , donc il y a façons de choisir l'exposant de , de même pour les autres...donc tu en déduis le produit.
prody-G a écrit:C'est comme en probas. Si tu as 3billes, 2stylos, 4pièces.
Tu as 3x2x4 façons de prendre une bille, un stylo et puis une pièce.
C'est pareil avec les exposants ici, en te demandant de combien de façons tu peux choisir un diviseur, c'est-à-dire, de combien de façons tu peux affecter une valeur à une puissance de p. C'est plus clair ? sinon j'peux toujours essayer de faire mieux...^^'
prody-G a écrit:Okay, donc on reprend l'exemple des 3billes(notées a,b,c), des 2stylos(notés A,B) et des 4pièces(notées 1,2,3,4). On appellera un triplet le choix d'une bille, d'un stylo et d'une pièce, soit par exemple le triplet [a,A,1].
Combien y a-t-il de triplets possibles différents ?
On compte : [a,A,1], [a,A,2], [a,A,3], [a,A,4]
[b,A,1], [b,A,2], [b,A,3], [b,A,4]
[c,A,1], [c,A,2], [c,A,3], [c,A,4]
[a,B,1], [a,B,2], [a,B,3], [a,B,4]
[b,B,1], [b,B,2], [b,B,3], [b,B,4]
[c,B,1], [c,B,2], [c,B,3], [c,B,4]
On a exactement 24 triplets possibles.
Parce que tu as 3 choix possibles pour la bille, puis 2 choix possibles pour le stylo, et 4 choix possibles pour la pièce. Soit 3x2x4=24.
Et c'est pareil avec les diviseurs, sauf qu'un diviseur est un i-uplet.
Un diviseur de n est de la forme avec . Donc combien de diviseurs peux-tu créer ?
prody-G a écrit:pas exactement, on va raisonner comme tout à l'heure :
de combien de façons peux-tu choisir ?
sachant que peut être égal à
De même de combien de façons peux-tu choisir
sachant que peut être égal à
Donc le nombre de diviseurs de n est le produit du "nombre de façons de choisir " pour chaque i.
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