Gros problème

[sheba]

bonjour,

je viens demander de l'aide pour mon neveu qui est en terminal litteraire et qui bloque completement et totalement sur son dm de math!
Il n'a absolument pas compris du tout et n'a rien réussi à faire!
Si une personne aurait la gentillesse de pouvoir l'aider ce serait génial! je sais que je demande beaucoup, mais la peur du zero plane. Je reste malgré tout très genée. Merci de m'avoir lu.

[hellow3]

Salut.
Rappel sur e(x):
e(0)=1
e(x) définie sur R. et e(x)>0 quel que soit x.
lim e(x)=0 en -infini
lim e(x)=+infini en +infini
lim (e(x))/x=+infini en +infini
lim xe(x) = 0 en -infini

1. f(x) continue en 0 ssi lim f(x)= f(0) quand x tend vers 0.
exponentielle continue et dérivable sur R.
Donc en particulier en 0.
(e^x)'=e^x.

Or la dérivée d'une fonction f au point a s'obtient en faisant:
lim ((f(x)-f(a)) / (x-a) = f'(a) quan x tend vers a

applique ceci à la fonction e^x au point 0.

2. Application du cours sur la fonction e^x.

3. a. g(0)=0 c'est du calcul.
g(x)>0 pour tout x non nul. pareil.

b. f'(x) = [ xe(x) - (e(x)-1) ] / x² = [1 + (x-1)e(x)] / x²
donc f'(x) = g(x) / x²
Comme x²>0 pour tout x non nul,
on a f'(x) est du signe de g(x) pour tout x non nul.

c. g(x)>0 pour tout x non nul donc f'(x)>0 pour tout x non nul. Comme f'(0)=1/2, f'(x)>0 quel que soit x.
Donc f(x) croissante sur R.

Fais le tableau de variation.


Exercice 2.

1. Aire du triangle AMM' = MM' * AH /2
Or [TEX]MH = V(1-x²) d'après pythagore, soit MM'=2*MH=2V(1-x²)
et AH = 1-x
donc Aire du triangle AMM' = V(1-x²) * (1-x)


3.

Une fonction f est dérivable au point a ssi lim (f(x)-f(a)) / (x-a) = L quand x tend vers a sachant que L est une constante reel egale à f'(a).

Application:
*en 1: lim (f(x)-f(1))/(x-1) = lim f(x) / (x-1) = lim ((1-x) * V(1-x²)) / (x-1) =
lim -V(1-x²) or quand x tend vers 1, V(1-x²) tend vers 0;
Donc f est derivable en 1 et sa derivee est 0

*en -1: lim (f(x)-f(1))/(x+1) = lim f(x)/(x+1) = lim ((1-x) * V(1-x²)) / (x-1)
Or V(1-x²) = V( (1-x)*(1+x) ) = V(1-x) * V(1+x)
Donc la limite est egale à:
lim ((1-x) * V(1-x) * V(1+x)) / (x+1)
sachant que quand x tend vers 1, x+1=V(x+1)*V(x+1) on a:
= lim ((1-x) * V(1-x) ) / V(x+1)

quand x tend vers -1, V(x+1) tend vers 0; par valeurs positives.
quand x tend vers -1, V(1-x) tend vers V2.
quand x tend vers -1, 1-x tend vers 2.

la limite est +infini

Donc f n'est pas derivable en -1 .

Si f derivable en a, La tangente de f en a est:
y= f'(a)(x-a) + f(a)

Donc en 1: la tangente est y=f(1)=0. C'est une tangente horizontale d'equyation y=0.

En -1, la fonction n'est pas derivable. La fonction admet donc une tangente horizontale d'equation x=-1.

b.
la fonction qui a x associe 1-x est derivable sur R donc sur ]-1;1[.
la fonction qui a x associe 1-x² est derivable sur R donc sur ]-1;1[; elle est aussi à valeur strictement positive sur cet interval.
Donc V(1-x²) est definie et derivable sur ]-1;1[ car V(x) definie et derivable pour x>0)
f est donc derivable comme produit de deux fonctions derivables sur ]-1;1[
.

f'(x) = [(1-x) * (-2x) / V(1-x²)] + (-1) * V(1-x²)] après mise au même denominateur:
= [ (1-x) * (-2x) - (1-x²) ] / V(1-x²)
=(2x²-x-1)/ V(1-x²)

c. Le signe de f'(x) est celui de 2x²-x-1 (une racine est tjours positive).

delta=(-1)² -4*2*(-1) = 9 = 3²
les solutions sont (1-3)/(2*2) = -1/2
et (1+3)/(2*2) =1

Donc 2x²-x-1 est negatif sur [-1/2;1] et positive ailleurs.

On en déduit que f' est positive sur ]-1;-1/2[ et negative sur ]-1/2;1[

Donc f est croissante sur [-1;-1/2] et decroissante sur [-1/2;1]

f(0) =0.

4. f represente l'aire de AMM'.
Sur [-1;1] f est maximale en -1/2.
Donc l'aire max est f(-1/2).

On sait que AH axe de simetrie de AMM', donc AMM' isocele en A.
pour x=-1/2, HM=V(1²-(1/2)²)=V(3)/2 (pythagore dans OHM)
Donc: MM'=V(3)
AM=V[(1-x)² + HM²]= V[(3/2)² + 3/4] = V(12/4) = V(3)

Donc AM=MM' et AMM' isocele en A. Donc AMM' equilateral.

[sheba]

merci, merci beaucoup hellow3

[sheba]

j'ai oublié un morceau du dm! si une personne aurait encore l'aimabilité de nous aider! je l'en remercie par avance

[hellow3]

1. yk est une suite géométrique de raison 1 - 2/n et de premier terme yo=1.
Donc: yk= (1 - 2/n)^k * 1 = (1 - 2/n)^k

2. Ici xk=(0.1)*k et yk=(0.8)^k
k=2; xk=0.2 yk=0.8²=0.64
k=3; xk=0.3 yk=0.8^3=0.512
k=4; xk=0.4 yk=0.8^4=....

3. f(1)=yk pour k=10, ...

4. Pour n=20, on a: xk=(1/20) *k et yk=(1- 1/20)^k=(19/20)^k
...
f(1)=yk pour k=20, ...

Pour n=30, on a: xk=(1/30) *k et yk=(1- 1/30)^k=(29/30)^k
...
f(1)=yk pour k=30, ...

[sheba]

merci! c'est très aimable!

[puce-choupinett]

Mais il fait des maths en term L ? et des exponentielles ??? comment ça se fait, en L le bac maths se passe en première... :doh: