Nature d'une série...

[Twan76]

Bonsoir à tous,

Comment pouvons déterminer la nature de la série de terme général :
cos(x)/(x^n) (x est fixe).

A priori, on devrait distinguer 2 cas : pour n>1 et n<=1
Pour n>1, je pense que l'on devrait utiliser le théorème de Leibniz :
Rappel : Série de terme général an bn.
Si bn
- prends des valeurs positives sur N*
- que sa limite en l'infini est 0
- que son allure est décroissante,
alors an bn est convergent.
Ici, en posant bn= 1/x^n , les 3 conditions sont bien vérifiées... donc la série cos(x)/(x^n) est vérifiée.

En revanche, pour n<1.
J'aurai tendance a appliquer le meme raisonnement, puisque si l'on prends par exemple n=1/2 soit la fonction bn=1/racine(x)
alors bn respecte les 3 conditions citées précédemment.

Or, si l'on applique les formule des Séries de Riemann, alors la série de terme général 1/x^n avec n<1 est divergent...


Voila tout mon probleme, que conclure ??
Merci d'avance :).

[klevia]

pour tous n, pour tous x, |cos n / x^n|<= |1/x|^n
or le serie de terme général |1/x|^n converge pour |1/x|<1 d'ou |x|>1

d'ou si |x|>1 alors la série converge

Si |x|<=1 alors (cos x / x^n) ne tend pas vers 0 d'ou la série diverge ...