Questions sur nombres premiers

[flo2708]

Bonsoir a tous, je blok sur un petit exo et j'aimerais votre aide svp:

Soit p un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples (x;y) d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation (E): x²+y² = p².


1.On pose p = 2. Montrer que l'équation (E) est sans solution.


On suppose désormais que p est différent de 2 et que le couple (x;y) est solution de l'équation (E).
2.Montrer que x et y sont de parités différentes.

3.On suppose mantenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c'est à dire p = u²+2² où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
a)Vérifier qu'alors le couple (|u²-v²|;2uv) est solution de l'équation (E).
b)Donner une solution de l'équation (E), lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.

4.On se propose enfin de vérifier sur deyx exemples, que l'équation (E) est impossible lorsque p n'est pas somme de deux carrés.
a)p =3 et p = 7 sont-ils somme de deux carrés?
b)Démontrer que les équations x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.


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Pour le 1. et le 2. j'y arrive.
Mais a partir du 3. je blok totalement, quelqu'un pourrait me donner un conseil ou un indice svp?

Merci de votre attention.

[flo2708]

Bonsoir a tous, je blok sur un petit exo et j'aimerais votre aide svp:

Soit p un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples (x;y) d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation (E): x²+y² = p².


1.On pose p = 2. Montrer que l'équation (E) est sans solution.


On suppose désormais que p est différent de 2 et que le couple (x;y) est solution de l'équation (E).
2.Montrer que x et y sont de parités différentes.

3.On suppose mantenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c'est à dire p = u²+2² où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
a)Vérifier qu'alors le couple (|u²-v²|;2uv) est solution de l'équation (E).
b)Donner une solution de l'équation (E), lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.

4.On se propose enfin de vérifier sur deyx exemples, que l'équation (E) est impossible lorsque p n'est pas somme de deux carrés.
a)p =3 et p = 7 sont-ils somme de deux carrés?
b)Démontrer que les équations x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.


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Pour le 1. et le 2. j'y arrive.
Mais a partir du 3. je blok totalement, quelqu'un pourrait me donner un conseil ou un indice svp?

Merci de votre attention.

J'ai fait la 3 également, je trouve :


(|u²-v²|)² + (2uv)² = u4 - 2u²v² + v4 + 4u²v² = u4 + 2u²v² + v4.
p=u² + v²
p² = (u² + v²)² = u4 + 2u²v² + v4.
Donc le couple (|u²-v²|;2uv) est bien solution.

Pour la 3)b. j'utlise :
4 = 2² + 1²
13 = 3² + 2²
et j'ai mon u et mon v.

Par contre, pour la 4.) je ne vois toujours pas, si quelqu'un a une idée svp?
Merci de votre aide.

[noukoula]

4)a) non
4)b) c'est le mème principe que la prière question!

[flo2708]

4)a) non
4)b) c'est le mème principe que la prière question!

Je pensais aussi que c'était non, mais n'y a-t-il pas une manière de le montrer?
Et pour la 4)b), c'est le même princiê que quelle première question?