Mesure et integration

[ClaireD]

bonjour à tous .
On m'a donné un devoir et il ya une question que je n'arrive pas à faire :

Soit L2(R) l'espace des fontions f de carré intégrable sur R.
(f,g) =
et
N(f)=

soit l une forme linéaire continue non nulle sur L2(R)
on a l(g) = sup { |l(f)| | N(f)=1}

Montrer que (f,g) = 0 avec f appartenant à L2(R) telle que l(f)=0

j'ai rédigé une réponse mais je crains que ce ne soit pas correct...
Si vous avez des suggestions , elles sont les bienvenues :happy2:
merci d'avance.

[yos]

soit l une forme linéaire continue non nulle sur L2(R)
on a l(g) = sup { |l(f)| | N(f)=1}

Problème de définition il me semble.

[ClaireD]

Non désolée c'est moi qui n'en est pas dit assez.
on considère une suite d'éléments gk tels que N(gk)=1
et lim l(gk) =sup { |l(f)| | N(f)=1}
alors on a montré precedemment que gk tend vers une limite g dans L2(R)
telle que l(g)=sup { |l(f)| | N(f)=1}
et N(g)=1

[yos]

|l(f)|

C'est ça que je ne comprends pas. Il y a deux normes différentes pour f ?

[yos]

Ah oui, j'avais confondu un avec une barre de valeur absolue : ça me semblait absurde.
Tu as donc qui réalise la norme de (norme subordonnée à celle de ). Tu dois prouver que .

[ClaireD]

effectivement j'ai voulu montrer que g appartenait a Ker(l)
Pour cela j'ai dit que comme l(g)=sup{|l(f)| | N(f) = 1 }
et que l est par hypothese une fonction non identiquement nulle , alors l(g) > 0 (mais dans ce cas je n'ai pas considéré qu N(f)=1 , est ce que ça change quelque chose ? )
Donc g n'appartient pas a ker(l)
comme nous sommes dans un espace hilbertien, g appartient a l'orthogonal de ker(l) tel que L2(R) = ortho(Kerl(l) +(somme directe) Ker(l)

par hyphothese , comme f appartient a Ker(l)
alors (g,f) = 0

cela est-t'il correct ?

[yos]

Non ça ne va pas.
Si g n'est pas dans , cela ne veut pas dire qu'il est dans son orthogonal!

J'ai voulu te dire que le problème devient un simple problème de géométrie.

Partons ainsi : avec et .
On a donc donc v réalise aussi la norme de . Mais v est plus petit que g (en norme), donc si on le normalise en le multipliant par on obtient un vecteur de norme 1 et qui vérifie . C'est contradictoire, à moins que , c'est-à-dire .