Suites, sommes et convergence

[Ivanovich]

Bonjour à tous, j'ai un petit souci sur un exo dont voici l'énoncé :





- J'ai évidemment résolu la première question ainsi que la 2)a), cependant j'ai un souci avec la 2)b).
- Il faut je pense utiliser les 2 précédentes en essayant de majorer les 2 sommes connaissant les variations de la fonction définie question 2)a) ... mais je n'y arrive pas.
- J'aimerais donc si possible des indications pour résoudre la question (je n'ai pas encore regardé la suite, je prefère faire toutes les questions dans l'ordre).


A propos de la question 2)a), je trouve que la fonction est décroissante sur ]0,n.exp(-1)] puis croissante sur ]n.exp(-1):n], les limites étant 1 en 0 et en n.

Merci d'avance pour votre aide.

[ThSQ]

Béh je dirais simplement que f(k/n) (k > 1) est plus petit que f(2/n) ou que f(n-p) et que donc il est plus petit que f(2/n) + f(n-p).
On oublie f(1/n) il reste au plus n termes à sommer (en fait au plus (n-2) mais c'est pas ce qui est demandé).

[Ivanovich]

heu désolé mais j'ai pas trop compris ce que tu voulais m'expliquer, tu pourrais préciser un petit peu ? :happy2:

J'ai réussi à faire la quasi intégralité de l'exercice à part la question 4)a) et toujours cette 2)b), donc quelqu'un pouvait m'eclairer pour la 2)b dans un premier temps ce serait sympa.

Merci de ta réponse ThSQ

[Ivanovich]

un ptit up de routine juste pour des indications sur les 2 questions siouplait ^^

[ThSQ]

f(x) = (x/n)^x
T'es d'accord que f décroit de 0 jusqu'à n/e puis croit
Donc si k/n < n/e, f(k/n) <= f(2) et si k/n > n/e alors f(k) <= f((n-p)/n)
Dans les deux cas f(k/n) <= f(2) + f((n-p)/n)
Après tu sommes de 2 à n-p.

[Ivanovich]

merci encore de ta réponse cependant je n'ai toujours pas compris ce que tu as ecris :

pourquoi majorer k/n et pas simplement k ?

je comprends que (k/n)^k < (2/n)^2 mais ensuite je ne comprends pas comment tu as établit ta seconde inégalité et surtout ta dernière (que tu as déduite des 2 précédentes.)

Merci encore

[Ivanovich]

un petit éclaircissement serait le bienvenu s'il vous plait ^^

[ThSQ]

seconde inégalité et surtout ta dernière (que tu as déduite des 2 précédentes.)

La seconde c'est la croissance de f sur n/e .. n
La dernière c'est une astuce bidon :
si A(k) n/e alors A(k) < A+B pour tout k.

[Ivanovich]

lol merci beaucoup ... jle faisais exprès c'est pas possible ... je viens à peine de percuter que k
Encore une petite indication peut etre pour la 4)a) , c'est la seule qu'il me reste à faire.

[ThSQ]

4)a)

Taylor non ?

[Ivanovich]

heu Taylor ? tu fais allusion à quoi ?

[Ivanovich]

un ultime bump

[tize]

Bonsoir,
ThSQ fait allusion à un développement de Taylor (voir ici) à l'ordre de 3 de préférence...

[Ivanovich]

hum merci beaucoup de ta réponse, je vais voir ca , ca ne semble pas très compliqué.

Merci encore je me manifesterai au cas ou ^^

Bonne soirée

[tize]

Tu peux aussi faire une étude de fonction c'est plus basique...

[ThSQ]

heu Taylor ? tu fais allusion à quoi ?

Taylor-Lagrange du lien donné par tize.