[Spé Maths] Démonstration par récurrence

[Yumeno]

Salut !

C'est encore moi !.. Et là, je dois faire une démonstration par récurrence de la propriété suivante : pour tout entier naturel n, 5^2n - 4^n est divisible par 7.

Voici où j'en suis rendu :

P(n) : "7 | 5^2n - 4^n" pour tout n supérieur ou égal à 0.

n0 = 0, je vérifie que P(0) est vraie.
P(0) : "7 | 5^2*0 - 4^0 <=> 7 | 1 - 1 <=> 7 | 0", c'est vrai, donc P(0) est vraie.

Je suppose que P(n) est vraie [Hyp]. Je dois alors montrer que P(n+1) est vraie donc que : "7 | 5^2(n+1) - 4^n+1" est vraie.

J'ai fait le calcul suivant :
5^2(n+1) - 4^n+1 = 5^2n+2 - 4^n+1 = 5^2n * 5² - 4^n * 4
Mais là je suis coincé... Je ne trouve pas de factorisation, ni comment injecter l'hypothèse [Hyp] dans ce que j'obtiens... je vois bien qu'en plus 5² - 4 ça donne 21, soit un multiple de 7, mais je n'arrive pas à concrétiser cette petite idée (qui est peut-être une fausse piste, d'ailleurs)... Quelqu'un saurait-il m'aider ? Merci d'avance !

[Maeredhel]

tu dois utiliser l'hypothese a ce moment la :
7|5^(2n)-4^n
donc il existe q dans N tel que 5^(2n)-4^n=7*q
donc 5^(2n)=7*q+4^n
tu reportes dans ton calcul de 5^2(n+1) - 4^n+1
=5^2n * 25 - 4^n * 4
=25(7*q+4^n)-4*4^n
=25*7*q+4^n*(25-4)
=7*(25q+3*4^n)
donc 7 | 5^2(n+1) - 4^n+1
et la c'est fini ^^

[Yumeno]

Merci beaucoup ! Je dois avouer que je n'aurais pas trouvé tout seul ! Encore merci ! Bonne soirée à vous !

[_Amine_]

En + facile :
2^2n+2 -4^n+1 = 5^2n*5²-4^n*4= 5^2n*25-4^n*4=5^2n*(21+4)-4^n*4=5^2n*21+5^2n*4-4^n*4=5^2n*21+4(5^2n-4^n) = 5^2n*21+4*7k =7(...)=7k'
Donc 5^2n-4^n est divisible par 7