Variations

[sussargues]

Bonjour
Je vous avez deja posez une question pour mon Dm mais personne ne m'avez m'aidé, tant pis, j'ai fini par y arriver seul.Simplement je bloque sur un question:

2)a) Dresser le tableau des variations de u définie par u (x) = tan x - (x racine 2) sur [ 0 ; pie/2 [

On designe par a l'unique réel de [0;pie/2[ tel que tan a = racine((racine 2) - 1 )

b) En déduire qu'il existe un réel unique b de l'intervalle ] a ; pie/2[ tel que u (b) = 0

Pour le a, je pense d'abord qu'il faut calculer la dérivée ce qui fait :
u'(x)= 1 + tan² x - racine2
SUr la calculatrice on voit qu'elle change de signe dans l'intervalle [ 0;pie/2[
donc on peut dire que la dérivée est négative puis positive.
Mais comment le prouver sans calculatrice? (la j'ai besoin de votre aide)
Quand on a prouvé ca on a les variations de u(x)

Pour la b par contre je n'ai aucune piste pour débuter, si vous pouviez m'aider

Merci d'avance

[guillapaul]

désolé mais ça fait longtemps que j'ai pas fait ce genre d'exercice je peux pas t'aider.

[lapras]

salut,
en fait ils désignent par a l'unique réel tel que tan(a) = sqrt( sqrt(2) - 1)
u'(x) = tan(x)² - ( sqrt(2) - 1)
donc en fait, u'(x) > 0 quand tan(x) > sqrt( sqrt(2) - 1)
donc quand x appartient à [a ; pi/2[ (on veut sur [0;pi/2[ !)
donc u'(x) < 0 sur [a ; pi/2[
donc....
Apres tu peux dire pour la question 2 que u(a) < 0
et que u est continue sur ]a ; pi/2[
théoreme des valeurs intermédiaires :ptdr:

[hellow3]

u'(x) = 1+tg²(x)-V(2)

u'x)>=0 equivalent à 1 +tg²(x) -V2 >= 0
Donc tg²(x) >= V2 - 1

Soit tg(x) >= V( V2 - 1)
ou tg(x) <= - V( V2 - 1)

On est sur [0;Pi/2]
Donc on ne s'intéresse qu'au premier cas.

b.
Dans ton tableau de variation, regarde comment évolue la fonction. Si u'(x)>0, u est strictement croissante. si u'(x)<0 u est strictement décroissante.

En quels point u(x) peut être nul?

[raito123]

Commençant:
1/a/on a U(x)=tg(x)-(x fois racine de 2)
donc U'(x)=1-(racine de 2)+(tg(x))*
On considére a [0;pie/2[=I
on a un unique a appartient a I tel que :
tg(a)=racine ((racine de 2)-1)
=> qu'il y a un unique a appartient a I tel que : U'(a)=0
on peut donc en deduire que :
U' négative ds [0;a[=K =>U decroissante sur K
U' positive ds ]a;pie/2[=J =>U croissante sur J
b/LAPRAS TU AS DIT TVI MAIS OU? c'est la question
REMARQUE

1. U est bijective
2. U(pie/3) est positive

DONC (U(a) fois U(pie/3)) est négative U(a)<0)
donc d'aprés TVI on deduit qu'il y a un unique b appartient à J tel que:
U(b)=0

[lapras]

je lui laisse le soin d'appliquer tout seul le théoreme comme il le faut, mais je lui ai indiqué quel théoreme utiliser;)

[sussargues]

Commençant:
1/a/on a U(x)=tg(x)-(x fois racine de 2)
donc U'(x)=1-(racine de 2)+(tg(x))*
On considére a [0;pie/2[=I
on a un unique a appartient a I tel que :
tg(a)=racine ((racine de 2)-1)
=> qu'il y a un unique a appartient a I tel que : U'(a)=0
on peut donc en deduire que :
U' négative ds [0;a[=K =>U decroissante sur K
U' positive ds ]a;pie/2[=J =>U croissante sur J
b/LAPRAS TU AS DIT TVI MAIS OU? c'est la question
REMARQUE

1. U est bijective
2. U(pie/3) est positive

DONC (U(a) fois U(pie/3)) est négative U(a)<0)
donc d'aprés TVI on deduit qu'il y a un unique b appartient à J tel que:
U(b)=0

Merci de votre aide mais comment peux tu prouver que U'(a)=0 et quand tu l'as prouvé tu sais qu'il y a donc un chgt de sans de variation sur cet intervalle mais comment peux tu savoir ou elle est décroissante sur l'intervalle et ou elle est croissante?

De plus l'indication disant que a est l'unique réel de [ 0 ; pie/2[ tel que tan a = racine ((racine de 2)-1) est placé aprés la question sur le tableau de variations de u je pense donc qu'il ne faut pas s'en occuper pour la question sur les variations mais pour la b

[sussargues]

Quelqu'un peut -il m'aider?

[Quidam]

u'(x)= 1 + tan² x - racine2
SUr la calculatrice on voit qu'elle change de signe dans l'intervalle [ 0;pie/2[
donc on peut dire que la dérivée est négative puis positive.
Mais comment le prouver sans calculatrice? (la j'ai besoin de votre aide)

La dérivée de u' est positive, donc u' croît ! \Large u'(0)=1-\sqrt{2} 0
Donc, d'après TVI u' s'annulle une et une seule fois entre 0 et
Elle s'annulle quand , soit précisément pour x=a !
Ensuite, comme u(0)=0 et que u'(x)<0 pour , on est certain, sans calculatrice, que u(a) < 0 !
D'autre part, comme quand , on peut appliquer TVI sur

Bonjour
Je vous avez deja posez une question pour mon Dm mais personne ne m'avez m'aidé, tant pis, j'ai fini par y arriver seul.Simplement je bloque sur un question:

2)a) Dresser le tableau des variations de u définie par u (x) = tan x - (x racine 2) sur [ 0 ; pie/2 [

On designe par a l'unique réel de [0;pie/2[ tel que tan a = racine((racine 2) - 1 )

b) En déduire qu'il existe un réel unique b de l'intervalle ] a ; pie/2[ tel que u (b) = 0

Pour le a, je pense d'abord qu'il faut calculer la dérivée ce qui fait :
u'(x)= 1 + tan² x - racine2
SUr la calculatrice on voit qu'elle change de signe dans l'intervalle [ 0;pie/2[
donc on peut dire que la dérivée est négative puis positive.
Mais comment le prouver sans calculatrice? (la j'ai besoin de votre aide)
Quand on a prouvé ca on a les variations de u(x)

Pour la b par contre je n'ai aucune piste pour débuter, si vous pouviez m'aider

Merci d'avance[/quote]

[Quidam]

u'(x)= 1 + tan² x - racine2
Sur la calculatrice on voit qu'elle change de signe dans l'intervalle [ 0;pie/2[
donc on peut dire que la dérivée est négative puis positive.
Mais comment le prouver sans calculatrice? (la j'ai besoin de votre aide)

La dérivée de u' est positive, donc u' croît !
Donc, d'après TVI u' s'annulle une et une seule fois entre 0 et
Elle s'annulle quand , soit précisément pour x=a !
Ensuite, comme u(0)=0 et que u'(x)<0 pour , on est certain, sans calculatrice, que u(a) < 0 !
D'autre part, comme quand , on peut appliquer TVI sur