Développements limités :/

[curly]

Bonjour, je suis en prépa et j'ai un DM sur les développements limités à faire. Le problème est que je n'ai pas compris grand chose aux développements limités

Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R+ par l'expression f(x)=(x + 2 - 1/x ) arctan(x)

1/ Effectuer un DL en 0 de f à l'ordre 2. En déduire que f peut etre prolongée par continuité en 0 et que le prolongement de f est dérivable en 0. (On précisera les valeurs de f(0) et f'(0) )
2/ On note g la fonction u->f(1/u), définie sur R+*.
Effectuer un développement de g en 0 à l'ordre 1 (i.e. avec un reste en o(u) )
En déduire celui de f en +infini à la précision 1/x. Conclure que Cf admet une asymptote oblique que l'on précisera, ainsi que la position relative de Cf par rapport à cette asymptote.
3/ Même question en -infini.

Pour la question 1 je trouve f(x)= -1 + 2x + 4x²/3 + o(x²) mais même ça je n'en suis pas sur
je trouve f(0)=-1 et f'(0)=2 mais je ne sais pas comment "En déduire que f peut etre prolongée par continuité en 0 et que le prolongement de f est dérivable en 0."

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider un peu ???
MMerci d'avance

[bitonio]

Bon, pour la première question:

f(x)=(x + 2 - 1/x ) arctan(x)

Pour faire un DL, il faut connaitre le DL de arctan. Il suffit de se rappeler que la dérivée de arctan est et qu'on peut intégrer un DL
Le DL de artan en 0 est donc

Ensuite, met l'autre parti sous le même denominateur il n'y a plus qu'à multiplier...

Je te laisse chercher la valeur de f'(0) et f(0) (coefficient en x^1 et x^0 respectivement)

[curly]

Bah c'est axctement ce que j'ai fait pour le DL (à part que j'ai pas mis l'autre partie au même dénominateur mais ça doit pas changer grand chose !)
Tu es sur que mon DL est faux ?

[bitonio]

Autant pour moi j'avais pas lu la fin de ton post ^^

Je trouve:

-1+2x+4/3x^2-2/3x^3-8/15x^4+O(x^5)

Pour en déduire que c'est prolongeable par continuité, il faut utiliser le théorème de prolongement C^1

[curly]

L'énconcé stipule un DL à l'ordre 2 donc on trouve la même chose ...
Par contre qu'est-ce que le théorème de prolongement C^1 ??? ça ne me dit rien ....

La limite quand x tend vers 0 de f(x) vaut -1 donc f(0) = -1

f(x)-f(0)/(x-0)= 2 + 4x/3+o(x) tend vers 2 d'où f'(0)=2

La tangente en 0 a pour équation y=2x-1
et f(x)-(2x-1)=4x²/3 > 0
donc Cf est situé au dessus de sa tangente en 0 ...

Tout ça est juste, non ?

[curly]

2/ on sait que pour u>0 : arctan(u) + arctan(1/u) = pi/2

d'où arctan(1/u) = pi/2 - u + u^3/3 + o(u^3) !!!

Si je poursuis mon raisonnement on a :
g(u) = pi + 1 + (pi/2 - 2).u - pi/2u

pour x>0 : g(1/x) = f(x) = (pi/2 - 2)/x +o(1/x)

lim g(1/x)[x -> 0+]= +infini = lim f(x)[x -> +infini]

Mouais ça doit pas étre ça ...