Convergence de n!/n^n

[RaoulBoch]

on peu aussi dire que 1/(n+1) tend vers 0

[RaoulBoch]

on peut fair ca?
est ce que ca suffit pour dire que ca converge et que la limite est 0?

[bitonio]

La proposition de Yos est bien entendu correcte donc ça marche et ça suffit!

[thedream01]

Bonjour.
tend vers 1/e et pas vers 0. Cela permet de conclure car on a donc .

Tu obtiens le 1/e en ecrivant ta puissance exp(n*(ln(n/(n+1)))) et un petit DL te permet de conclure...
Puis comm te l'a dit YOS, tu passes à la limite dans l'expression u(n+1)=U(n)... et ça te donne l=0.

[RaoulBoch]

et sans developpement limité?

[nuage]

Salut,
sans développement limité :
[TEX]u_n=\frac1{n}\times \frac2{n}\times \cdots \times 11

[RaoulBoch]

tu peux mettre la démo entiere stp je comprends pas

[Purrace]

On considere Un=n!/n^n et Un>ou=0 et as n!/n^n qui peut etre majore pas 1/n puisque 2/n<1.... d'ou Un tend vers l>ou=0 pa theoreme d'encadrement.
Et tu pase a la limite dans une relation precedente que t'aurai trouve en passant par l'absurde ou en trouvant que l=0.

[RaoulBoch]

Salut,
sans développement limité :
[TEX]u_n=\frac1{n}\times \frac2{n}\times \cdots \times 11

tu peux expliquer pourquoi on a ca stp

[nuage]

Avec la remarque ci-dessus on a .
Un théorème de comparaison permet de conclure.

Pour la remarque l'inégalité est stricte à partir de n=3 et non 2 comme je l'ai écrit plus haut.


car quand

[RaoulBoch]

Un c'est n! sur n^n tu eleve l'exposant apres . comment tu redige ca? on pose un N=n^n?

[nuage]

Car il y a n facteurs au numérateur et au dénominateur et que

[RaoulBoch]

dsl je commence a fatiguer ...
merci beaucoup