Optimisation d'espace.

[Doochka]

Bonjour,
Je suis en 1èreS et je rencontre des difficultés face à un exercice auquel je ne parviens pas à trouver de pistes de resolution :doute2: ...



J'aurai donc besoin de quelques indications concernant les premières démarches à faire !

Merci à ceux/celles qui me repondront d'avance!

Doochka

[Quidam]

L'aire du quadrilatère en question est égale à la différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des quatre triangles !

[Doochka]

Merci de ta reponse Quidam, je suis d'accord avec toi pour l'aire du quadrilatère, mais comment puis-je déterminer et comparer une aire quelconque en ayant seulement des "a" comme mesure des côtés.

Je pense que pour que l'aire de MNPQ soit minimale, il faut que M soit le milieu de AB. Par conséquent MNPQ serait un losange, on sait que l'aire d'un losange est (D*d)/2. Et je comparerais donc la valeur obtenue de l'aire du losange avec la valeur trouvée au départ en faisant la différence des triangles rectangles avec le rectangle de base? Mais je ne sais pas comment démontrer que l'aire du losange est la plus petite possible... Je suis un peu perdu dans ce que je raconte mais bon, :marteau:

merci

[Doochka]

un ptit up :lol3:

[Quidam]

mais comment puis-je déterminer et comparer une aire quelconque en ayant seulement des "a" comme mesure des côtés.

Pose AM=x. Tu peux faire tous tes calculs avec a et x. On ne te demande pas de calculer cette aire minimum ; c'est impossible si tu ne connais pas a ! Mais quand tu sauras la valeur de x tu pourra donner une expression de l'aire minimale "fonction de a" ; mais de toutes manières, ce n'est pas demandé.

Commence par trouver l'expression de l'aire demandée en fonction de a et x !
En quelle classe es-tu ? As tu étudié les équations du second degré ?

Je pense que pour que l'aire de MNPQ soit minimale, il faut que M soit le milieu de AB.

La conjecture est raisonnable, mais loin d'être évidente ! A présent, il faut la démontrer !

[Doochka]

Bonjour!

En quelle classe es-tu ? As tu étudié les équations du second degré ?

Je suis en première S et oui le chapitre sur le second degré est terminé, cet exercice fait partie d'un devoir maison "bilan".


En utilisant tes explications, voilà ce que j'ai fait :

Calcul de l'aire du quadrilatère MNPQ:

On pose AM=x
AMQ est rectangle en A.
AQ=AD-QD=(a-x) (car QD=AM)
D'après Pythagore;

MQ²=AM²+AQ²
MQ²=2ax²+(a-x)²
MQ²=2ax²+a²-2ax+x²
MQ=;)(2ax²+a²-2ax+x²)
MQ=ax;)2+a-;)(2ax)+x

On sait que AM=PC, que AQ=NC, par conséquent NP=MQ.

Dans BMN, BM=AB-AM=(2a-x)
BMN est rectangle en B.
BN=AM=x
D'après Pythagore;

MN²=BM²+BN²
MN²=(2a-x)²+x²
MN²=2a²-2ax+x²+x²
MN²=2a²+2x²-2ax
MN=a;)2+x;)2-;)(2ax)

On sait que MB=DP, que DQ=BN, par conséquent MN=QP.

MQ=ax;)2+a-;)(2ax)+x
NP=ax;)2+a-;)(2ax)+x
MN=a;)2+x;)2-;)(2ax)
QP=a;)2+x;)2-;)(2ax)

Maintenant que j'ai les mesures des 4 côtés du quadrilatère je peux calculer l'aire qui est normalement égal à : Base*Hauteur mais comment puis-je calculer la hauteur ici svp?

Merci!

[Quidam]

L'aire du quadrilatère en question est égale à la différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des quatre triangles !

En utilisant tes explications, voilà ce que j'ai fait...

Tu peux faire compliqué si ça te chante ! Bien sûr, la connaissance de la longueur des quatre côtés du quadrilatère ne suffit pas pour calculer l'aire du quadrilatère : il te faut connaître les angles !!! Tu peux les calculer, mais je te déconseille de t'enfoncer davantage dans un calcul compliqué ...

Je t'ai donné ci-dessus une indication que tu n'as pas suivie ! Il est incroyablement simple de calculer la somme des aires des quatre triangles, et aussi l'aire du rectangle ABCD et par conséquent l'aire du quadrilatère en question qui est égale à la différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des quatre triangles.

[Doochka]

effectivement je me suis compliqué la tête pour rien et j'ai trouvé la solution!
merci de ton aide.
à bientôt

[Quidam]

effectivement je me suis compliqué la tête pour rien et j'ai trouvé la solution!
merci de ton aide.
à bientôt

Ah quand même...Ca sert à quelque chose que je me décarcasse !