Soit A une matrice de telle que .
1 - Montrer que A n'a pas de valeur propre réelle.
2 - Si E est la matrice obtenue à partir de par utilisation d'une opération élémentaire, comment déduit-on de A ? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme :
a)
b) avec
c)
3 -
a) En utilisant 1, montrer qu'il existe tel que .
b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu'il existe telle que si alors si et .
c) Montrer alors que si et .
Je bute sur la dernière question, c'est peut-être à cause de "l'algorithme" que j'ai utilisé pour transformer A en A' à la question b) :
On part de la matrice A, il existe tel que . On effectue la suite d'opérations élémentaires suivantes :
qui correspond à une multplication à gauche par
qui correspond à une multiplication à droite par
(sachant qu'ici le est le même lors des deux opérations)
Pour tout :
(sachant qu'ici le est le même lors des deux opérations)
Avec ça, j'obtiens bien une première colonne de la forme demandée, mais j'arrive pas à prouver que la deuxième colonne est devenue .
Je suppose qu'il y a déjà un problème d'écriture au niveau de mes opérations, puisqu'au fur et à mesure ça n'est plus les que je manipule, mais j'arrive pas à l'écrire "proprement".
Quand je le fais sur une matrice 2-2 ça me donne , ce qui est bien la forme demandée puisque , et que (puisque X²+1 est le caractéristique de A dans ce cas particulier), mais je vois pas comment le généraliser à une matrice n-n.
Merci à ceux qui auront eu le courage de me lire et qui pourront m'aider.