Integrale sin(x)/x, x=0..infini
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dilzydils
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par dilzydils » 03 Nov 2007, 17:26
Bonjour
Savez vous calculer cette integrale? je crois me rappeler que ca vaut Pi/2.
Merci
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 03 Nov 2007, 17:33
c'est assez compliqué !Y a un passage en polaire a faire avec les intégrale doubles !
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Nightmare
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par Nightmare » 03 Nov 2007, 17:36
Salut :happy3:
Je crois qu'on peut faire simple avec Fubini en écrivant que
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tize
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par tize » 03 Nov 2007, 17:38
Bonjour,
ça s'appelle
l'intégrale de Dirichlet Nightmare a écrit:Salut :happy3:
Je crois qu'on peut faire simple avec Fubini en écrivant que
Bonjour Nightmare,
pour avoir le droit d'appliquer Fubini, il faut que la fonction soit intégrable en valeur absolue !
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tize
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par tize » 03 Nov 2007, 17:42
Nightmare a écrit:Salut :happy3:
Je crois qu'on peut faire simple avec Fubini en écrivant que
Bonjour Nightmare,
pour avoir le droit d'appliquer Fubini, il faut que la fonction soit intégrable en valeur absolue !
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Pythales
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par Pythales » 03 Nov 2007, 18:36
N'ayant pas eu de réponse à ma précédente question, et puisqu'on reparle de cette intégrale, j'en profite pour la reposer ici :
Un moyen de la calculer est de considérer
, de calculer
ce qui donne
, et comme
on a
, et en faisant
on trouve que
ce qui est exact.
Malheureusement, pour
,
ne converge plus.
Comment justifier le résultat malgré tout ?
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kazeriahm
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par kazeriahm » 03 Nov 2007, 19:23
il faut prouver la continuité de I en 0, ce qui prouverait le résultat
Il faut le faire à la main, ce qui est assez subtil si je me souviens bien (faut découper l'intégrale en série d'intégrale sur des segments et faire des majorations assez fines pour montrer que la différence I(alpha)-I(0) tend vers 0 quand alpha tend vers 0)
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snoopy27
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par snoopy27 » 03 Nov 2007, 22:17
essaye de resoudre ce probleme,par l'analyse complexe
la fonction (exp(iz)-1)/z est une fonction holomorphe sur tout C (en prolonge par holomorphie au point0).
par application de théoreme de cauchy on aura:
intgrale (exp(iz)-1)/z dz=intgrale (exp(iz)-1)/z dz sur un contour gama de R+intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R)=0.(R:rayon )
integrale(exp (iz)dz sur gama de R -intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R).
quand R tend vers +infini par application de lémme de jordan integrale(exp (iz)dz sur gama de R tend vers 0.
en déduit donc que -ip=-intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-inf,+inf)
ip=intgrale (cos x+isin x-1)/x dx sur (-inf,+inf)=ip=intgrale ((cosx-1)/x +i sinx/x)dx=0 sur (-inf,+inf).
ip=intgrale i sinx/x dx implique integrale sinx/x dx=p sur (-inf,+inf).
désolé j'ai pas les signes necessaire :triste:
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 03 Nov 2007, 23:57
snoopy27 a écrit:essaye de resoudre ce probleme,par l'analyse complexe
la fonction (exp(iz)-1)/z est une fonction holomorphe sur tout C (en prolonge par holomorphie au point0).
par application de théoreme de cauchy on aura:
intgrale (exp(iz)-1)/z dz=intgrale (exp(iz)-1)/z dz sur un contour gama de R+intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R)=0.(R:rayon )
integrale(exp (iz)dz sur gama de R -intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R).
quand R tend vers +infini par application de lémme de jordan integrale(exp (iz)dz sur gama de R tend vers 0.
en déduit donc que -ip=-intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-inf,+inf)
ip=intgrale (cos x+isin x-1)/x dx sur (-inf,+inf)=ip=intgrale ((cosx-1)/x +i sinx/x)dx=0 sur (-inf,+inf).
ip=intgrale i sinx/x dx implique integrale sinx/x dx=p sur (-inf,+inf).
désolé j'ai pas les signes necessaire :triste:
ouah c'est condensé !!
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snoopy27
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par snoopy27 » 04 Nov 2007, 00:14
je crois pas que c condenser,mais j'ai un manque de signe :hum:
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Joker62
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par Joker62 » 04 Nov 2007, 00:15
Si si c'est condensé ! :)
Pour les signes, voir le langage LaTeX, qu'on insère entre les balises [ TEX ] et [ \TEX ]
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snoopy27
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par snoopy27 » 04 Nov 2007, 00:16
ok thanks :hein:
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 04 Nov 2007, 00:31
snoopy27 a écrit:ok thanks :hein:
tu pourrais sauter des lignes :id:
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