Fonctions avec des cos et tan, terminale S

[Mariondeguilhem]

bonjour, dans un exercice, je suis bloquée sur une question:

on veut montrer que pour tout x de [0 ; pie/2 [ on a 2sin x + tan x superieur ou egal à 3x

on utilise donc f definie sur [0 ; pie/2 [ par f (x)= 2sin x + tan x -3x

j'ai demontré que f'(x) = (2cos x^3-3cos ² x + 1) / (cos ²x)

3. on pose X= cos X

a) verifier que X appartient à [0 ; 1 ]

b) (j'ai deja fait cette question )
on a donc f'(x) qui s'ecrit aussi (2X^3-3X²+1 ) / (X²).
on appelle F la fonction definie sur [0;1] par f(X) = 2X^3-3X²+1.
etudier les variations de F et montrer que pour tout X de [0;1 ]on a F(X)superieur ou egal à 0.

c) quel est alors le signe fe f'(x)? en deduire les variations de f sur [0 ; pie/ 2[puis le signe de f(x). conclure sur l'inegalité de Huygens.

je n'arrive pas à la a) et la c)...merci de m'aider, je suis sur cet exo depuis plusieurs heures et je n'avance à rien...

[Noemi]

Pour x variant de [0 à pi/2[, la fonction cosinus est strictement décroissante, elle varie de cos0 = 1 à cos(pi/2)= 0 donc sur ]0;1].

Comme f'(x) = F(X)/X^2, X différent de 0.
X^2 >=0 pour tout X, les variations de f'(x) correspondent à celle de F(x).

[Mariondeguilhem]

merci :)

mais, pour la a) , il faut faire un tableau??

et la b), le signe de f'(x) est dc superieur ou egal à 0?
si les variations de f(x) correpondent à celles de F(X) , f(x) est negatif?

[Noemi]

mais, pour la a) , il faut faire un tableau??
On peut faire un tableau de variation ou écrire ce que j'ai noté dans mon précédent mail.


et la b), le signe de f'(x) est dc superieur ou egal à 0? oui sur l'intervalle considéré
si les variations de f(x) correpondent à celles de f(X) oui,
f(x) est negatif ? Pourquoi cette question ?