Groupe symétrique
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
euclide
- Membre Relatif
- Messages: 100
- Enregistré le: 10 Aoû 2006, 14:22
-
par euclide » 28 Oct 2007, 11:00
Bonjour, je me demande comment peut-t-on montrer que dans le groupe symétrique
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathfrak{S}_n)
tout élément est conjugué à son inverse.
-
klevia
- Membre Relatif
- Messages: 318
- Enregistré le: 04 Oct 2007, 21:00
-
par klevia » 28 Oct 2007, 11:36
Salut, je suis désolé , je ne comprends pas " est conjugué à son inverse" ?
Soit J un element de Sn
veux-tu dire J=J^(-1°J)°j^(-1)
ou J^(-1)=J°J^(-1)°J^(-1) ?
c'est pas clair ... pour moi ...
-
tize
- Membre Complexe
- Messages: 2385
- Enregistré le: 16 Juin 2006, 20:52
-
par tize » 28 Oct 2007, 11:44
Bonjour,
je pense qu'il veut dire que pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sigma \in\mathfrak{S}_n)
il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\tau\in\mathfrak{S}_n)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ \sigma^{-1}=\tau o \sigma o \tau^{-1})
-
euclide
- Membre Relatif
- Messages: 100
- Enregistré le: 10 Aoû 2006, 14:22
-
par euclide » 28 Oct 2007, 11:48
En fait mon énoncé est écrit comme ca, maintenant moi je pense que cela signifie que :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\forall \sigma \in \mathfrak{S}_{n} \quad \exists \quad \rho \in \mathfrak{S}_{n} \quad tel \quad que \quad :\quad \sigma = \rho \circ \sigma^{-1} \circ \rho^{-1})
de sorte que sigma est conjugué à son inverse, mais en fait c'est vrai je suis pas sûr que ce soit ca.
-
euclide
- Membre Relatif
- Messages: 100
- Enregistré le: 10 Aoû 2006, 14:22
-
par euclide » 28 Oct 2007, 11:49
oups j'avais pa vu qu'un message venait juste d'être posté...
-
euclide
- Membre Relatif
- Messages: 100
- Enregistré le: 10 Aoû 2006, 14:22
-
par euclide » 28 Oct 2007, 11:56
Et pour démontrer ca vous avez des idées, j'avais pensé passer par la décomposition en produit de transposition de sigma et et son inverse mais j'arrive pas a aboutir.
-
klevia
- Membre Relatif
- Messages: 318
- Enregistré le: 04 Oct 2007, 21:00
-
par klevia » 28 Oct 2007, 11:57
bon je vais aller me coucher je dis que des betises ce matin ...
-
euclide
- Membre Relatif
- Messages: 100
- Enregistré le: 10 Aoû 2006, 14:22
-
par euclide » 28 Oct 2007, 12:02
Je suis pas sûr parce-que si on prend rhô=sigma alors on trouve que sigma est égale à son inverse ce qui n'est pas vrai...
-
tize
- Membre Complexe
- Messages: 2385
- Enregistré le: 16 Juin 2006, 20:52
-
par tize » 28 Oct 2007, 12:26
Déjà tu peux essayer de le montrer pour un cycle et ensuite essaye de généraliser pour un produit de cycles à supports disjoints.
-
klevia
- Membre Relatif
- Messages: 318
- Enregistré le: 04 Oct 2007, 21:00
-
par klevia » 28 Oct 2007, 12:39
je ressaie, on verra bien ...
Soit (i j) une transposition alors (i j ) ^(-1) = ( i j )
d'ou
( i j ) = ( i j ) ( i j ) ( i j)
d'ou la propriété est vrai pour toute transposition
deja ça de fait ...
-
euclide
- Membre Relatif
- Messages: 100
- Enregistré le: 10 Aoû 2006, 14:22
-
par euclide » 28 Oct 2007, 13:24
j'y arrive pour un cycle à 4 éléments mais au-delà ca ne marche plus. J'ai pas d'idées...
par namfoodle sheppen » 28 Oct 2007, 15:24
tu décompose ta permutation en produit de cycle à support distincts, comme ça on a juste a travailler sur un cycle. On l'écrit S=(a1,a2,...,ap); on considère la permutation t: ai --> a(p-i+1). C'est une involution et on a donc :
Soit i entre 1 et p. On a toS^(-1)ot^(-1)(ai)=toS^(-1)(a(p-i+1)=to(a(p-i))=a(p-(p-i)+1)=a(i+1)=S(ai).
Je suis vraiment désolé je suis une quiche en info je comprends rien à Latex. Dis moi si c'est incompréhensible je demanderai de l'aide pour la rédaction ;).
-
ThSQ
- Membre Complexe
- Messages: 2077
- Enregistré le: 10 Oct 2007, 18:40
-
par ThSQ » 28 Oct 2007, 16:21
C'est peut-être la même réponse que namfoodle sheppen mais :
La décomposition en cycles disjoints de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?t = rsr^{-1})
s'obtient en remplaçant
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?i)
par
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?r(i))
dans la décompostion de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?s)
:
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?t(r(i)) = rsr^{-1} (r(i)) = ... = r(s(i)))
, en d'autres termes
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?r(i))
est à "gauche" de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?r(s(i)))
alors que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?i)
est à "gauche" de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?s(i))
dans la décomposition en cycles de s.
Par exemple
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?r (124)(35) r^{-1} = (r(1) r(2) r(4))(r(3)r(5)))
Sachant que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(124)^{-1} = (421))
(et pareil plus généralement) c'est facile de trouver un r tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?t = s^{-1})
par namfoodle sheppen » 28 Oct 2007, 18:05
oui ça reviens au même en version latex :)
-
ThSQ
- Membre Complexe
- Messages: 2077
- Enregistré le: 10 Oct 2007, 18:40
-
par ThSQ » 28 Oct 2007, 19:25
Super :we: , honnêtement j'ai pas eu le courage de te lire :briques:
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 63 invités