[Résolu]Algorithme, conjecture et preuve

[Nod]

Bonjour,

Actuellement en 1ereS, j'ai un DM de mathématiques à rendre pour après les vacances.
Il se compose de 2 excercices, le premier étant facilement abordable avec le cours, je n'en parlerais donc pas ici; le second étant un peu plus délicat.

Voici l'énnoncé:
Voici un algorithme défini à partir d'un nombre entier naturel à trois chiffres non nuls dont la différence entre le chiffre des centaines et le chiffre des unités est supérieur ou égale à 2.

1- Inverser l'ordre des 3 chiffres du nombre initial pour obtenir un second nombre à 3 chiffres.
2- Soustraire le plus petit de ces deux nombres à trois chiffres du plus grand d'entre eux.
3- Inverser l'ordre des trois chiffres de la différence obtenue à l'étape 2.
4- Calculer la somme des deux nombres obtenus aux étapes 2 et 3.

a) Appliquer l'algorithme à quatre nombres distincts. Quelle conjecture pouvez-vous formuler?

R: On obtient à chaque fois 1089.

b) Elaborer une preuve de cette conjecture.

C'est donc pour ce petit "b" que j'ai besoin de votre aide.
Je n'ai aucun résultat concret, aucune méthode, rien qui me permettrait d'avancer un tantinet. :/

Merci à tout ceux qui préterons attention à mon problème :3

Voici mon raisonnement:

Je suis persuadé que la condition "la différence entre le chiffre des centaines et celui des unités est supérieur ou égale à 2" impose deux cas:
Celui ou c > u et celui ou u > c (ce qui aura une influence sur l'étape 2 de l'algorithme). Je traiterais qu'un seul des cas, le second en découlera comme par magie! =)

A l'étape initiale on a donc un nombre tel que:
x = c * 100 + d * 10 + u

A l'étape 1 on a:
x = c * 100 + d *10 + u
y = u * 100 + d* 10 +c

A l'étape 2 on fait:
x - y (puisqu'on a c > u) soit:
( c * 100 + d * 10 + u) - (u * 100 + d * 10 + c)
= c * 99 + d * 20 - u * 99

L'étape 3 nous donne:
z = u * 99 + d * 20 - c * 99

Et finalement pour l'étape 4 on a:
z + (x - y) soit:
(u * 99 + d * 20 - c * 99) + (c * 99 + d * 20 - u * 99)
= 0u + 40d + 0c

Donc celà ne me mène à rien (surtout que celà est tout à fait très faux :/)

[rene38]

Bonjour

Première erreur :

A l'étape 2 on fait:
x - y (puisqu'on a c > u) soit:
( c * 100 + d * 10 + u) - (u * 100 + d * 10 + c)
= c * 99 + d * 20 - u * 99

donc x-y = c*99 - u*99
Et l'étape 3 est moins simple que ce que tu as fait.

[Nod]

Merci de la réponse.

Effectivement, erreur de calcul vraiment stupide :/

Pour ce qui est de l'étape 3, c'est vrai que selon ce que j'avais fais, avec c * 99 - u * 99, j'aurais -u * 99 + c * 99 ce qui est la même chose et ne fais donc pas avancé le shmilblick.

Seulement, là je vois pas trop comment faire pour inverser l'ordre des chiffres de ce nombre :/

Pour le chiffre des centaines il faut simplement que j'ajoute "c" à l'expression que j'aurais obtenue. Mais cette expression je n'arrive pas à l'obtenir justement! :doh:

[Nod]

J'ai réusolu le problème:
J'ai fais apparaitre la forme a*100+b*10+c a partir de l'expression c*99 - u*99, ce qui donne: 100(c-u-1)+90+10-(c-u)
Ensuite l'étape 3 est donc très simple et donne:
100(10-(c-u))+90+(c-u-1)
Enfin, l'étape 4 nous donne:

(c*99 - u*99) + 100(10-(c-u))+90+(c-u-1) = 1089

CQFD

Merci de ton aide rene38 =)