Application

par **legeniedesalpages** » 27 Oct 2007, 20:04

Bonsoir,

j'ai un problème au niveau de cette proposition:

Soit une application de dans tels que si est vide, alors est vide.

Si est inversible à droite (ie il existe une application telle que ) alors est surjective.

La réciproque ne serait apparemment pas toujours juste, on ne m'a pas donné cette proposition sous forme d'équivalence.

Le problème en fait, c'est que je ne trouve pas de contre-exemple pour la réciproque.

Merci pour vos indications

par **abcd22** » 27 Oct 2007, 20:15

Bonsoir,
La réciproque est vraie si on admet l'axiome du choix : pour chaque élément y de Y, on choisit un élément g(y) dans

, l'axiome du choix dit exactement que ce sera toujours possible de faire ça.

par **legeniedesalpages** » 27 Oct 2007, 20:22

Bonsoir abcd22, merci pour ta réponse.

Si je comprends bien, je ne pourrais donc jamais trouver de contre-exemple alors pour la réciproque.

Mais peut-on trouver un exemple d'application surjective, telle que si l'on ne fait pas appel à l'axiome du choix, on ne peut pas lui trouver un inverse à droite?

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 20:29

Personnellement, j'avais pensé à l'application f qui à un Polynome P associe son polynome dérivé P'.
Elle est bien surjective.

Mais je ne vois pas quelle serait l'application g telle que fog=id

par **ThSQ** » 27 Oct 2007, 20:36

Dans l'exemple venu de Lyon, g = une primitive, non ?

Comme l'a dit abcd22 ça se démontre grâce à l'Axiome du Choix, c'est même équivalent à l'AC ! On peut donc parfaitement construire une axiomatique dans laquel des inversibles à droite ne sont pas surjectives.
Le plus bizarre c'est qu'on a le même résultat (mais à gauche) pour l'injection mais que ça se démontre sans l'AC !!

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 20:38

Non... puisque la primitive n'est pas une application, puisqu'à une fonction polynomiale P', elle associe une infinité de primitives P, définis à une constante près !

par **ThSQ** » 27 Oct 2007, 20:42

Taupin sur Lyon a écrit:Non... puisque la primitive n'est pas une application, puisqu'à une fonction polynomiale P', elle associe une infinité de primitives P, définis à une constante près !

UNE primitive, celle sans terme constant par exemple

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 20:48

Oui, une primitive ! ( quand j'ai dit la, je parlais de l'application qui primitive ) !

Associer la primitive avec une constante nulle ? Mwai... j'sais pas trop personnellement ! M'enfin... j'suis pas un expert non-plus ^^

par **abcd22** » 27 Oct 2007, 20:59

Justement ton exemple n'est pas bon Taupin de Lyon car dans ce cas c'est tout à fait possible de trouver une application inverse à droite explicitement sans faire appel à l'axiome du choix :

par exemple.

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 21:03

Oui, en effet ! :)

Désolé pour mon erreur... !

Juste une question... Comment faites-vous pour écrire avec des signes mathématiques ? ( j'suis tout nouveau ici :) )

par **legeniedesalpages** » 27 Oct 2007, 21:46

tu cliques sur le bouton TEX qui est dans le menu lorsque tu rédiges un message, il va y apparaitre une invite où tu tapes ton expression mathématique en latex.

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