Exercice

par **yacine95** » 27 Oct 2007, 19:13

C'est un Exercice que j'ai trouver dans un livre de mathematiques et j'ai essayer de le résoudre : il y'a 14 question au complet dans cet Exercice j'ai reussi à faire 5 il me reste ces 9 questions Merci de m'aider

On concider les suites (Un) et (Vn) définis par
U0 = 2 et pour tout n

lN : Vn= 2/ Un
et Un+1 = (Un+Vn)/2

1/ Calculer V0 , U1 , V1 , U2 , V3 , U2 , Donner les resultats sous forme de fraction irréductble.

2/ Montrer que les suites Un , Vn Sont majorées par 2 et minorées par 1.

3/ montrer que pour tout n

lN :
Un+1 -Vn+1 = [(Un-Vn)²]/[2(Un-Vn)].

4/ montrer que pour tout n

lN : Un

Vn.

5/ montrer que Un est décoissante et Vn et coissante.

6/ montrer que pour n

lN : Un - Vn

1 et en deduire que (Un - Vn)²

Un - Vn.

7/ montrer que pour tout n

lN :
Un+1 - Vn+1

1/4 (Un - Vn)
en deduire que pour tout n

lN : Un - Vn

1/(4^n).

8/ montrer que les suites (Un) , (Vn) sont
Adjacente et donner leur limite commune L.

9/ Une suite convergente de nombre rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel.

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 19:25

1/ c'est du calcul assez élémentaire... tu devrais y arriver...

2/ fait une récurrence, ça va très bien ;)

3/ Tu pars du membre de gauche, et tu sais que Vn+1 = 2 / Un+1 ; et tu connais l'expression de Un+1 ! Tu remplaces, ça va tout seul !

4/ Avec une récurrence, c'est immédiat, en utilisant le résultat de la question 3 !

5/ Tu fais Un+1-Un et Vn+1-Vn et c'est très rapide ! :)

6/ Découle directement de l'encadrement de tes 2 suites entre 1 et 2

7/ Ca sent la récurrence à plein nez ;)

8/ Du résultat 7, t'en déduis que les (Un-Vn) tend vers 0 ! (Un) décroissante et (Vn) croissante donc elles sont adjacentes !

par **yacine95** » 27 Oct 2007, 19:30

Pordon mais tu va trés vite !!!!!!!!!!!!!!!

Explique S.V.P

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 19:30

Euh... tu es en quelle classe ?

par **yacine95** » 27 Oct 2007, 19:32

En 1année math à la faculter

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 19:35

Donc tu connais le principe de la démonstration de récurrence ! Donc a priori, je ne vois po trop le problème pour certaines questions utilisant la démo par récurrence !

Ce n'est pas un exercice très compliqué ! Regarde déja avec les indications que je t'ai donné, ça devrait t'aider !

par **yacine95** » 27 Oct 2007, 19:39

et pour la 9ème question

par **Taupin sur Lyon** » 27 Oct 2007, 19:56

Alors...
Pour la 9eme... La plus délicate à mon avis ( puisque dépendant du calcul de la limite des suites... )

Celui-ci de donnera d'ailleurs que la limite vaut racine de 2, qui est un irrationnel, alors que tes suites sont à coefficients rationnels !

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