Exercices congruences spé-maths

[Ninie_47]

Bonjour !
J'aurais besoin d'éclaircissements concernant quelques exercices sur les congruences que voici :

Note : pour le symbole "congru", je n'ai rien trouvé de mieu que cette magnifique lettre grecque ;) .

1) Déterminez tout les entiers n, tels que n²-3n+6 soit divisible par 5.

2) Démontrez que pour tout entier naturel n : 4^n+6n-1 ;) 0 (mod 9)

3) Déterminez les entiers naturels pour lesquels : n*7^n + 4n + 1 est divisible par 8.

On m'a dit qu'il étaient faciles, mais ça fait quelques soirées que je nages... :hum:

Si quelqu'un a des idées concernant ces exercices, qu'il n'hésite pas ! Je cherche avant tout à les comprendre car je suis sensée savoir en faire de plus compliqués dans mon prochain devoir...

Merci d'avance !

[Nightmare]

Bonsoir,

Le premier :

On remarque que n²-3n+6=n²+2n+1+5-5n

Ainsi, pour que 5 divise n²-3n+6, il faut et il suffit que 5 divise n²+2n+1, ie 5 divise (n+1)² donc par le théorème de Gauß que 5|n+1 et au final n est de la forme 5k-1.

Le deuxième :

On raisonne modulo 9 :

On réfléchit un peu.
On sait que
Or, dès que k est plus grand que 2, 3^k=0. On en déduit que
D'où :


Essaye de faire le troisième :happy3:

[Imod]

C'est quelques astuces !

Pour la première : modulo 5 or le carré d'un nombre est divisible par 5 si le nombre est lui même divisible par 5 donc modulo 5 .

Imod

[Ninie_47]

Pour le premier, j'avais trouvé ceci, sans vraiment finaliser :

6 ;) 1 (5) et 3 ;) 2 (5)

Ce qui, en y repensant rejoint ce que tu me proposes Nightmare.

Niveau du second, je ne saisis pas très bien quand tu parles d'une somme :hum:

[lapras]

salut,
tu connais la formule du binôme de newton ?


Sinon, pour le dernier :

3) Déterminez les entiers naturels pour lesquels : n*7^n + 4n + 1 est divisible par 8.

on remarque que 7=(-1) [8]
donc que n*7^n = -n [8] quand n est impair
et
n*7^n = n [8] quand n est pair

deux cas donc :
1) n impair
n*7^n + 4n + 1 = 3n + 1 [8]
3n + 1 = 0 [8] 3n = -1 [8] 3n = 7 [8]
donc 3n = 7 [8]
congruences de 3n :
n = 0[8] => 3n = 0[8]
n = 1 [8] => 3n = 3 [8]
n = 2 [8] => 3n = 6 [8]
n = 3 [8] => 3n = 1 [8]
n = 4 [8] => 3n = 12 = 4 [8]
n = 5 [8] => 3n = 15 = 7 [8]
n = 7 [8] => 3n = 5 [8]

donc si n = 1[2], alors les n tels que n*7^n + 4n + 1 divisible par 8 sotn les n congrus à 5 mod 8


2) n pair :
je te laisse étudier le cas

[Ninie_47]

tu connais la formule du binôme de newton ?

Bonsoir !
Je connaissais pas jusqu'à présent, mais Google m'y a bien aidé.
Je fais le 2, l'un étant terminé. Mais pause repas d'abord :we:

[Ninie_47]

Bonsoir !
Je me demandais, est-ce qu'un exo de ce type peut être résolu par les congruences :

Démontrer que pour un nombre entier soit divisible par 6, il faut que la somme du chiffre des unités et de quatre fois la somme des autres chiffres soit divisible par 6.

Remarquez, je me suis peut-être trompé de chapitre... :\

Merci d'avance.

[Imod]

Oui , il suffit de se dire qu'un nombre est divisible par 6 quand il est divisible par 2 et par 3 :we:

Imod

[vikvik]

personnellement, je te proposerai un tableau de modulo!
tout simple, tu te casse pas la tête.
tu décomposes tout tes jolies fonctions, pour la 1: n² ,- 3n, + 6
tu fais une colone pour chaque, et a la fin tu additionne, tu as ton tableau!!
Ensuite quand c'est égale à zéro tt en bas dans ton tableau c'est qu e c'est divisible!

[Ninie_47]

personnellement, je te proposerai un tableau de modulo!
tout simple, tu te casse pas la tête.
tu décomposes tout tes jolies fonctions, pour la 1: n² ,- 3n, + 6
tu fais une colone pour chaque, et a la fin tu additionne, tu as ton tableau!!
Ensuite quand c'est égale à zéro tt en bas dans ton tableau c'est qu e c'est divisible!

C'est surement plus ludique. :happy2: J'essaierai.

Pour la divisibilité par 6, d'accord pour le 2 et 3, mais comment en arriver à chiffre des unité + 4 fois la somme des autres divisible par 6... ?

Pour le 3, j'utilise aussi le binôme de Newton ?