Exercices sur les produits scalaires

[Haexyrus]

Bonjour,

Je bloque sur quelques exercices portant sur les produit scalaire, j'espère que vous pourriez m'aider :

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Soit ABC un triangle et D une droite.
On désigne par A', B' et C' les projetés orthogonaux de A, B et C sur D.
Soit d1 la droite passant par A' et perpendiculaire à (BC)
Soit d2 la droite passant par B' et perpendiculaire à (AC)
Soit d3 la droite passant par C' et perpendiculaire à (AB)
Soit K le point d'intersection de d2 et d3

1) Calculer vec(KA').vec(BC)
2) En déduire que les droites d1, d2 et d3 sont concourrantes.
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N.B: vec(BC) = vecteur BC ; vec(KA') = vecteur KA'

Merci d'avance

[Haexyrus]

Deuxième exercice :

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Soit ABCD un rectangle de longueur L et de largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux respectifs de B et D sur la diagonale (AC)

1) Evaluer de deux manières le produit scalaire vec(CA).vec(BD) pour calculer HK à l'aide des longueurs des cotés L et l

2) Comment choisir L et l pour avoir AC = 2HK ? Exprimer dans ce cas l'aire du parallèlogramme BHDK en fonction de l'aire du rectangle ABCD.
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[Haexyrus]

Partie du 3ème exercice:

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1) Placer les points A(-1, 4) , B(-3, -2), C(1/2, 1) dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j)

2) Calculer vec(AB).vec(AC) puis en déduire la mesure de [AB, AC]

3) Soit (E) = {M(x, y) appartenant à P tel que MA^2 - MC^2 = 75/2 }.
Vérifier que (E) est une droite dont une équation cartésienne est x - 2y -1 = 0

(...)
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La suite est assez facile