Morphisme, noyau et image

[luigi]

Bonjour,

Voici donc l'énoncé de mon exo :

Soit G = un groupe cyclique d'ordre m, et A un élément d'un autre groupe H.
1-Montrer que f : a^r -> A^r définit un morphisme de G dans H ssi A^m = 1
2-A quelle condition le morphisme est-il injectif ?
3-Déterminer les morphismes de Z/6Z vers Z/qZ avec q = 7,9

La 1ère, j'ai réussi.
La deuxième, je sais qu'il faut que Ker(f) = {e}. Mais après, il faut arriver à la conclusion que Ordre de A = Ordre de a... ça j'y arrive pas !
La troisième, c'est aussi un problème... Je sens que je l'avais déjà fait y'a longtemps mais je sais plus comment faire ... Quelqu'un pourrait-il m'expliquer une fois pour toute ?

MErci !

[ThSQ]

2- Ben si l'ordre de A n'est pas m, il divise m et f(a^(m/ordre(A)) = 1 ce qui contredit l'injectivité.

3- des éléments d'ordre 6 dans Z/7Z y'en a pas des tonnes ;)

[luigi]

Merci pour la 2) :) Justement, pour la question 3, je sais plus du tout comment on résonne pour trouver... 7 est un nombre premier a quelque chose à voir là dedans mais pour 9, je sais plus du tout ^^

[abcd22]

Bonjour,
Pour déterminer les morphismes de Z/6Z dans Z/qZ il suffit de trouver les images possibles pour 1 puisque c'est un générateur de (Z/6Z, +), en utilisant la question 1 (sauf que là on a une notation additive) on voit que pour qu'on ait un morphisme il faut (et il suffit) qu'on ait 6 x (image de 1) = 0, donc les images possibles pour 1 sont les éléments x de Z/qZ tels que 6x = 0 (ce qui est différent des éléments d'ordre 6), il n'y a plus qu'à trouver ces éléments pour q = 7 et q = 9.

[luigi]

Bonjour,
Pour déterminer les morphismes de Z/6Z dans Z/qZ il suffit de trouver les images possibles pour 1 puisque c'est un générateur de (Z/6Z, +), en utilisant la question 1 (sauf que là on a une notation additive) on voit que pour qu'on ait un morphisme il faut (et il suffit) qu'on ait 6 x (image de 1) = 0, donc les images possibles pour 1 sont les éléments x de Z/qZ tels que 6x = 0 (ce qui est différent des éléments d'ordre 6), il n'y a plus qu'à trouver ces éléments pour q = 7 et q = 9.

Merci. Je sens que les souvenirs reviennent. Bon, pas tout malheureusement... Je ne suis pas sûr de savoir pourquoi 1 est générateur de Z/6Z... Est-ce parce que 6 x 1 = 0 sur Z/6Z ? Dans ce cas, 1 est générateur de tous les Z/kZ non ?

Mémoire mémoire ^^

[abcd22]

Je ne suis pas sûr de savoir pourquoi 1 est générateur de Z/6Z... Est-ce parce que 6 x 1 = 0 sur Z/6Z ? Dans ce cas, 1 est générateur de tous les Z/kZ non ?

1 est générateur tout simplement parce que pour tout k de Z/6Z, k = k.1, ça marche pour tous les Z/nZ.
Ce n'est pas parce que 6 x 1 = 0 dans Z/6Z : tous les éléments de Z/6Z vérifient ça mais tous ne sont pas générateurs (les générateurs de Z/nZ sont les classes des k tels que pgcd(k,n) = 1, c'est une conséquence du théorème de Bezout).

[luigi]

Salut !

Donc j'ai cherché les morphismes en suivant ta méthode :)

Pour q = 7, j'ai trouvé qu'il y en avait pas.
Pour q = 9, j'ai trouvé que 3 et 6 marchaient.

Après, le hic, c'est au niveau de la rédaction... En fait, pour trouver, j'ai chercher les k tels que 6 x k congru à 0 modulo 9 ie 2 x k congru à 0 modulo 3. Mais après, quelle serait la manière de rédiger cette chose ?

Sinon, je voudrais aussi revenir à la question 2. Je suis pas sensé connaître le résultat ^^ Donc je me demandais comment y parvenir à partir de la seule question ?

Merci d'avance :) !

[ThSQ]

Pour q = 7, j'ai trouvé qu'il y en avait pas.

Il y a au moins (et ici, au plus ) le morphisme nul, non ?

[luigi]

Euh ben oui. Mais c'est pas vraiment le plus important ;)