Exercice

par **meryem.s** » 16 Oct 2007, 14:39

Exercice:
Soit I= [0;1] et f une application croissante de I dans I
On pose A={ x appartenant à I / f(x)

x}; montrer que:

1/ A

ø
2/x appartenant à A => f(x) appartenant à A
3/ A possède une borne inférieure a et a appartenant à I
4/f(a)=a et déduire

Je n'ai rien compris à cet exercice malgré mes essais,j'espère avoir votre aide.Merci d'avance!

par **Pythales** » 16 Oct 2007, 14:47

La borne inférieure vaut 0

par **alben** » 16 Oct 2007, 15:24

Pythales a écrit:La borne inférieure vaut 0

Bonjour,
Non je ne crois pas.
pour le 1) regarde ce qui se passe pour x=1, le 2) prend x dans A et utilise la croissance pour comparer f(x) et f²(x)

par **meryem.s** » 18 Oct 2007, 10:15

je n'arrive toujours pas à trouver la réponse

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 12:35

Si pour tout x, f(x) > x, alors f(1) > 1, ce qui contredit f(x) dans I.

Donc il existe x tel que f(x) <= x. D'où A non vide.

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 12:36

Si x dans A, alors :

f(x) <= x.

Or, f croissante, on peut donc ecrire :

f ( f(x) ) <= f(x) (X= f(x) on voit bien f(X) <= X)

Donc f(x) est dans A si x est dans A.

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 12:38

I borné
A inclus dans I
Donc A borné
Donc A admet une borne inf.

De plus, cette borne inf est forcément dans I, vu que c'est un intervalle FERME...

par **klevia** » 18 Oct 2007, 12:40

1) A est non vide car 1 appartient à A
2) x appartient à A => f(x) <= x or f croissante d'ou f(f(x))<= f(x) => f(x) appartient à A.
3) A partie borné de IR elle possède obligatoirement une borne inf.

Pour la question 4 et la fin du 3, j'ai pas le temps faut que j'aille en cours dsl

par **alben** » 18 Oct 2007, 12:47

Bonjour
Je pense que meryem.s n'a plus qu'à recopier sans même comprendre de quoi il s'agit. Pour la question 4, il n'aura qu'à tenter sa chance sur un autre forum en montrant ce qu'il a déjà fait...

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 12:52

Je pose u(0) = x avec x quelconque de A.
Et u(n+1) = f(u(n)).

On a montré que quelque soit n dans N, u(n) est bien dans A (cf question 2).

De plus u(n+1) <= u(n) (cf question 2).

On a donc une suite décroissante et minorée par 0, donc convergente.

Soit l sa limite.

Elle vérifie donc l = f(l) par construction de la suite ( u(n+1) = f(u(n)) ).

Il reste à montrer que l est bien égal à a (la borne inf).

Si l < a, alors comme f(l) = l, ca implique que l est dans A, et donc que a n'est pas la borne inf (car l < a). Absurde.

Maintenant pour l > a, je ne vois pas trop...

(Bref, la création de la suite montre qu'il existe une méthode itérative pour trouver le point fixe de f de façon approchée)

Bon courage !

Ps : Désolé de ne pas avor terminé la démonstration... enfin je t'ai déja un peu avancé, non ? :zen:

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 12:54

alben a écrit:Bonjour
Je pense que meryem.s n'a plus qu'à recopier sans même comprendre de quoi il s'agit. Pour la question 4, il n'aura qu'à tenter sa chance sur un autre forum en montrant ce qu'il a déjà fait...

Pourquoi dis-tu cela ?

par **meryem.s** » 18 Oct 2007, 12:54

"Or, f croissante, on peut donc ecrire :

f ( f(x) ) <= f(x) (X= f(x) on voit bien f(X) <= X)"
je peux comprendre pourquoi?
merci,et alben ,saches que je suis nulle en maths et que j'essaye de comprendre...j'ai passé deux jours à me casser la tete sans résultat

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 12:56

Tu sais que x est dans A...

Donc f(x) <= x

Si tu poses X = f(x), on a donc :

X <= x

Mais f est croissante, donc on peut appliquer f est l'inégalité sans changer le sens.

Ce qui donne f(X) <= f(x) et f(x) = X

Donc f(X) <= X

Donc X est dans A.

X est précisément f(x)...

Donc f(x) est dans A si x est dans A.

par **Joker62** » 18 Oct 2007, 13:02

Il dit ça parce que y'a aucune pédagogie dans ce que vous avez fait :D

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 13:30

Merci du compliment :cry:

Enfin bon, sinon je supprime les posts, tant pis :zen:

par **Joker62** » 18 Oct 2007, 13:34

Beuh non quand même pas.
Généralement un correcteur est là pour mettre sur la voie, pas pour balancer le corrigé.
Enfin ça arrive à tout le monde de donner les réponses sans expliquer, moi le premier ;)

par **alben** » 18 Oct 2007, 13:38

Bon j'ai peut-être jugé un peu vite.
Ceci dit, il y a une progression assez forte dans cet exo et je pense qu'il est illusoire de s'attaquer à la question 4 si on n'a pas pu trouver la réponse aux deux premières questions.
En tout cas, ce n'est (a mon avis) jamais une bonne idée de supprimer des posts, le malheureux qui voudra lire la discussion n'aura aucune chance de comprendre

par **meryem.s** » 18 Oct 2007, 13:44

je te remercie ange blanc,j'ai compris les deux premières questions,pour les deux dernières,ce n'est pas la peine,si je n'ai pas trouvé de réponse à mes exercices,dorénavant,je ne posterais rien.Merci

par **AngeBlanc** » 18 Oct 2007, 14:07

Rooo mais si, t'inquiètes pas :hum:

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