Systèmes.

[Lagalère]

Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
La 3ème question devient plus problématique, en effet:
Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

[Quidam]

Ben, tu pourrais remarquer que (x²-xy+y²)=(x²+2xy+y²)-3xy !

[Lagalère]

Je ne vois pas trop le rapport, avec la question 3/...

[Quidam]

Je ne vois pas trop le rapport, avec la question 3/...

Si tu essayes un couple tel que x+y=K, tu peux en déduire (x+y)²=k², puis xy=...
avec (x+y) et xy tu peux trouver x, et y !

Voilà le rapport !

[Lagalère]

Je vous remercie pour le service apporté.

[Lagalère]

Si tu essayes un couple tel que x+y=K, tu peux en déduire (x+y)²=k², puis xy=...
avec (x+y) et xy tu peux trouver x, et y !

Voilà le rapport !

A quoi correspond k, dans le cas présent?

[Quidam]

Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
La 3ème question devient plus problématique, en effet:
Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

Quatre systèmes à résoudre :
x+y=1
x2-xy+y²=217
___________
x+y=7
x2-xy+y²=31
___________
x+y=31
x2-xy+y²=7
___________
x+y=217
x2-xy+y²=1

Prenons le premier :
x+y=1
x2-xy+y²=217

x²+2xy+y²-3xy=217
(x+y)²-3xy=217

De là tu trouves : xy=[(x+y)²-217]/3=[1²-217]/3=-72

Désormais tu connais la somme 1 et le produit -72 des deux inconnues x et y. Or on sait (enfin, tu devrais savoir !) que si x et y ont pour somme S et pour produit P, il s'agit alors des deux racines du trinôme x²-Sx+P (si tu l'ignores, tu n'as qu'à éliminer l'une des variables et tu tomberas fatalement sur ce type d'équation !).

Donc x et y sont les racines du trinôme : R²-R-72
On calcule le discriminant :
Et on trouve les deux racines en question :



D'où x=9 et y=-8. On constate effectivement que !

Le nombres x et y n'étant pas deux entiers naturels, la solution en question est à rejeter, mais le principe est bon ! Tu n'as qu'a faire la même chose pour les trois autres systèmes !

[ambre78]

Salut, je sais que je ne devrais pas écrir sa ici mais je ne sais pas ou le mettre, quidam est ce que tu peux venir voir mon topic stp car je l'ai posté il y a plusieur jour et je n'ai pas eu beaucoup d'aide et c'est pour demain, dsl d'avoir mis sa la, merci davance

[Lagalère]

A la fin, je trouve les couples (1;6) et (6;1) d'entiers naturels tels que x^3+ y^3= 217.
Est-ce exact?

[Quidam]

A la fin, je trouve les couples (1;6) et (6;1) d'entiers naturels tels que x^3+ y^3= 217.
Est-ce exact?

Je n'en sais rien ! Je n'ai pas fait l'exercice en entier ! Je pense que tu es assez grand pour savoir si tes solutions sont bonnes et pour vérifier que tu n'en as pas oublié !

[Lagalère]

Pour les vérifier, il n'y a pas de problème, en revanche, la question est de ne pas en oublier...
Sinon, je vous remercie pour votre aide.