EXO math BESOIN DE VOUS

[dragama]

On considère l'équation différentielle (E) :

y'+ y = x² - 2

1) dans un premier temps , on veut calculer quelques valeurs prises par la fonction f, solution de (E) telle que f(0) = 2 par la méthode d'euler. on prend un pas de 0.1. Calculer de cette façon une valeur approchée à 0.01 près de f(0.1), f(0.2) et f(0.3).

2) Dans cette question, on va résoudre de façon exacte cette équation
a)Résoudre l'éaquation (E') : y' + y = 0
b)Montrer que la fonction g, définie sur R par: g(x) = x² - 2x est une solution de (E).
c) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f - g est soluion de (E').
d) En déduire toutes les fonctions solutions de l'équation (E).
e) Déterminer la solution f de (E) telle que f(0) = 2. Comparer la valeur f(0.3) avec celle obtenue à la question 1.

merci d'avance de m'aider !

[Rikku]

Pour la question 1 je ne peux pas t'aider car je suis en train de voir le chapitre sur ça mais nous n'avons pas encore fait cette partie.

En revanche je peux pour la deuxième question.
2) a) (E') y' + y = 0
<=> y'=-y , donc de la forme y'=ay avec a = -1.

Les solutions de cette équation différentielle dans R sont les fonctions définies sur R par f(x) = kexp (-x) (k appartenant à R)

b) g(x) est solution de (E) <=> g'(x)+ g(x) = x² - 2 => à démontrer
g'(x) = 2x - 2= 2(x-1)
g'(x) + g(x) = 2(x-1) + x² - 2x = x² -2

Donc g est solution de (E)

c) f est solution de (E) <=> pour tout x appartenant à R, f - g est solution de (E')
On commence par f-g solution de (E').
f-g est solution de (E') <=> pour tout x appartenant à R, (f-g)' + (f-g) = 0
<=> f'(x) - g'(x) + f(x) - g(x) =0
<=> f'(x) + f(x) = g(x) + g'(x)
g est solution de (E) donc g'(x) + g(x) = x²-2
Donc f'(x) + f(x) = x²-2
Donc si f-g est solution de (E'), alors f est solution de (E).

f-g est solution de (E') <=> f(x) - g(x) = kexp (-x)

Les solutions de (E) sont les fonctions f définies sur R par :
f(x) = g(x) + kexp(-x)
= x² - 2x + k exp(-x) = x(x-2) + kexp(-x)
J'espère ne pas m'être trompée...

f(0)=2 <=> g(0) + kexp(0) = 2 <=> k=2
La fonction solution s'écrit : x(x-2) + 2exp(-x)

J'espère que je me suis pas trompée car je suis crevée et je l'ai fait très vite !! Et ça me paraît bizarre ce que j'ai trouvé donc voilà !!
Mais sinon pour le principe j'espère t'avoir aidé !