DM seconde rien de difficile^^ >>2952²=a.10^4 +b...

[yacia]

bonjour! j'ai un devoir maison à rendre... et je galère un peu! voici l'énoncé et mes réponses, pourriez vous m'aider svp?
voici l'énoncé:
Le but de l'exercice est de déterminer la valeur exacte de 2952^4

1) quel resultat vous donne votre calculatrice? Est ce la valeur exacte? expliquez.

2) Soient a et b deux nombres réels quelconques, développez l'expression suivante:
(a.10^4 + b²)

3a) calculez 2952²
b) déterminez les nombres entiers a et b tels que 2952=a.10^4+b

c) en utilisant les question précedentes, en deduire la valeur exacte de 2952^4.

d) comparez au resultat trouvé dans la 1ere question.

mes réponses:
1) 2952^4 = 7.593909421x10^13
Ce n'est pas une valeur exacte, puisqu'il y a "x10^13", c'est une valeur scientifique.

2)
(a.10^4 +b)²
=a²x 10^8 + 2 xax10^4 xb + b²
=a²x 10^8 + 2ab x 10^4 + b²

3)2952² = 8714304

b) je ne sais pas comment expliquer que 871 x 10^4 + 4304 = 8714304 = ax10^4 +b

c) ??
d)??

merci d'avance pour votre aide! :)

[rene38]

Bonsoir

b) je ne sais pas comment expliquer que 871 x 10^4 + 4304 = 8714304 = ax10^4 +b

Ecris-le simplement,c'est assez évident.

Si tu y tiens,
avec et

c)
avec et
Reste à effectuer quelques calculs et sauf erreur, on obtient

[chan79]

petite correction
2952^4=75 939 094 204 416
avec la calculatrice de windows !!! :zen:

[Quidam]

petite correction
2952^4=75 939 094 204 416
avec la calculatrice de windows !!! :zen:

Merci !

Mais le but de cet exercice n'est pas de vérifier qu'on sait se débrouiller pour trouver une calculatrice assez smart (celle d'un copain, ou celle de Windows) ! Le but est de comprendre comment se débrouiller avec ce que l'on a, lorsque la simple multiplication dépasse les capacités de sa calculatrice !
Il n'y a pas si longtemps, la plupart des calculatrices avaient douze chiffres de précision ou moins. Aujourd'hui, certaines calculatrices vont un peu plus loin, et suffisamment loin pour calculer exactement 2952^4 (sans compter un certain modèle de TI qui serait, dit-on, capable de plusieurs centaines de chiffres si j'en crois un post que j'ai vu passer sur ce forum). Mais encore une fois : le problème n'est pas là !

Le problème est : En supposant que votre calculatrice n'ait pas la précision nécessaire, comment faire pour réaliser malgré cela une opération exacte ?

[chan79]

Tout à fait d'accord, évidemment, Quidam, c'était juste pour blaguer :zen: :zen:
Bonne journée

[Quidam]

mes réponses:
1) 2952^4 = 7.593909421x10^13
Ce n'est pas une valeur exacte, puisqu'il y a "x10^13", c'est une valeur scientifique.

Tu fais erreur ! Le simple fait que l'affichage soit sous forme d'écriture scientifique ne prouve pas que ce n'est pas une valeur exacte !
Les calculatrices font ce qu'elles peuvent ! Si tu calcules 4/1000000 sur ta calculatrice, tu obtiendras peut-être 0.000004 qui est une valeur exacte.
Mais si tu calcules 4/10^20, tu n'obtiendras pas 0.00000000000000000004, tout simplement parce qu'il n'y a pas assez de chiffres sur l'affichage pour écrire tous ces zéros ! Au contraire (la calculatrice fait ce qu'elle peut !), la calculatrice choisira l'affichage scientifique pour montrer son résultat et affichera sans doute : 4.000000000*10^(-20), qui est une valeur également exacte !
A l'inverse, l'affichage "normal" ne garantit absolument pas que le résultat est exact. Il suffit de calculer 1/3 pour voir s'afficher 0.333333333 et l'on sait bien que 3*0.333333333=0.999999999 qui n'est pas égal à 1 ! Donc, tu vois que d'une part, l'affichage scientifique ne garantit pas que l'affichage est faux, tout comme l'affichage "normal" ne garantit pas davantage que l'affichage est juste !

Une petite remarque avant de continuer :
puisque 2952^4 = 75 939 094 204 416 l'affichage de ta calculatrice aurait dû être 7.593909420x10^13 et non 7.593909421x10^13 puisque le premier chiffre non pris est 4 ! L'arrondi aurait donc dû être fait vers le bas ! C'est bizarre !

Cela dit, il est clair que ton professeur souhaite que tu réussisses à faire un calcul dépassant les capacités de ta calculatrice. Mais il n'est pas certain que de nos jours ce calcul soit suffisamment difficile (car les calculatrices ont fait des progrès, et il est possible que cet exercice soit un peu vieux) ! Comme je l'ai dit plus haut, il y a quelques années, très peu de calculatrices dépassaient les douze chiffres de précision, mais aujourd'hui, certaines calculatrices vont jusqu'à 15 chiffres ! Simplement, il faut savoir que l'affichage lui-même est limité. Donc, même si le résultat d'un calcul est exact, l'affichage est limité et parfois inexact.
Par exemple sur ma vieille calculatrice, si je choisis d'afficher en mode "virgule fixe avec 8 chiffres" et que je calcule 2/3, j'obtiens sur l'affichage 0.66666667. Mais ce n'est pas la valeur qui est en mémoire ! Si je change alors mon affichage en passant en mode "virgule fixe avec 10 chiffres", le résultat apparaît désormais : 0.6666666667 (sans que je refasse le calcul). Si enfin je passe au maximum "virgule fixe avec 11 chiffres", j'obtiens alors 0.66666666667. Mais ce n'est toujours pas la valeur située en mémoire ! Si je multiplie par 10 ce résultat, j'obtiens alors : 6.66666666667. C'est en fait le maximum : cela correspond exactement à la valeur située en mémoire : bien que mon affichage donnait (avant multiplication par 10) la valeur 0.66666666667, en fait la valeur en mémoire était bel et bien 0.666666666667). En fait, le calcul est toujours fait avec le maximum de précision possible pour cette calculatrice, c'est-à-dire avec 12 chiffres, et un arrondi est fait sur le dernier chiffre. L'affichage, lui, fait ce qu'il peut, selon le mode d'affichage choisi !

En d'autres termes, si ta calculatrice affiche 7.593909420x10^13, cela ne veut pas dire que c'est effectivement le résultat qu'elle a trouvé ! Ce sont en fait les dix premiers chiffres du résultat qu'elle a trouvé ! Pour connaître les chiffres suivants, tu n'a qu'à faire une soustraction !
Si tu soustrais, par exemple, 7.5939094*10^13 du résultat trouvé, tu verras sans doute apparaître d'autres chiffres. Si ta calculatrice est comme la mienne (12 chiffres de précision) tu verras un affichage : 204400. Ceci signifie donc que la valeur du résultat situé en mémoire était en réalité :
7.5939094*10^13 + 204400, soit 7.5939094204400*10^13 ou encore
75 939 094 204 400. Ce n'est pas le résultat exact ! Normal, ma calculatrice n'a que 12 chiffres de précision et ici, il en faut 14 !
Mais si ta calculatrice a 15 chiffres de précision, tu verras alors apparaître 204416. Ceci signifie donc que la valeur du résultat situé en mémoire était en réalité :
7.5939094*10^13 + 204416, soit 7.5939094204416*10^13 ou encore
75 939 094 204 416 qui est le résultat exact ! C'est pour cette raison que je dis que l'exercice est un peu vieux : il a été probablement conçu à l'époque - récente quand même - où la plupart des calculatrices avaient 12 chiffres de précision ou moins.

Et nous en revenons à la question posée : "Est ce la valeur exacte? expliquez !"
Ton résultat 7.593909420x10^13 signifie en réalité 75 939 094 200 000. Et ce n'est effectivement pas la valeur exacte, et pourquoi ? Parce que tu sais bien que le dernier chiffre de 2952² est forcément 4, car 2942=2950+2 et 2952²=(2950+2)²=(2950)²+2*2950*2+2². D'autre part 2952^4=(2952²)² et le dernier chiffre de 2952^4 est donc forcément 6. Il est donc clair que ton résultat 75 939 094 200 000 n'est pas exact !

Essaye au moins de faire cette soustraction (-7.5939094*10^13), tu verras que tu as sûrement d'autres chiffres qui apparaîtront !

P.S. Mais que cela ne t'empêche pas de faire l'exercice "comme si" ta calculatrice n'avait pas les 14 chiffres nécessaires !

[yacia]

Aah! merci beaucoup!! j'ai fait la soustraction et c'est bien ça!! ( j'aurais du y penser avant mais bon^^)! en tout cas merci beaucoup de m'avoir aidée!! ( en plus maintenant j'ai une "démonstration" a tout epreuve pour le 1):p)
merci merci et encore mercii!!

[rene38]

petite correction
2952^4=75 939 094 204 416
avec la calculatrice de windows !!! :zen:

Dérapage incontrôlé sur pavé (numérique) glissant ...