Exo sur les groupes

par **Daniel-Jackson** » 16 Oct 2007, 20:14

Salut la compagnie !

Voilà un petit exo (classique je suppose car c'est dans le Perrin) mais sur lequel je bloque un peu :

Soit G un groupe et Z son centre . Montrer que Si G/Z est cyclique alors G est abélien.

Merci :happy2:

par **Joker62** » 16 Oct 2007, 20:19

Lol j'viens d'le faire ce soir :)

Z(G) est bien un sous groupe normal de G, donc on peut parler de groupe quotient

G/Z est cyclique, ça veut dire qu'il existe un a dans G tel que G/Z(G) =

Soit x et y deux éléments de G

x.y = x.e.y.e

x.e x.Z(G) et y.e y.Z(G)

Donc il existe n et m dans Z et g1 et g2 dans Z(G) tel que

x = a^n . g1
y = a^m . g2

x . y = a^n . g1 . a^m . g2 = a^n.a^m.g1.g2 car g1,g2 Z(G)

x.y = a^(n+m).g1.g2 = a^(m+n).g1.g2 = a^m .g2.a^n.g1 = y.x

Donc G abélien.

par **Chimomo** » 16 Oct 2007, 20:20

Supposons G/Z cyclique et posons A un de ses générateurs. Soit a un antécédent de A par la projection canonique. Le groupe engendré par a sera alors un relèvement de G/Z dans G. Ensuite le résultat est simple.

par **Daniel-Jackson** » 16 Oct 2007, 20:30

Ah oui merci , punaise , comme d'habitude on ne se rend compte qu'après avoir vu la réponse que c'est pas dur :briques:

Merci à vous :happy2:

par **Joker62** » 16 Oct 2007, 20:33

C'est quoi un relévement chimomo ?

Edit : La théorie des groupes c'est subtil quand même :o

par **Chimomo** » 16 Oct 2007, 20:36

A noter que le résultat est un peu plus général en fait. Si tu as un groupe G qui est une extension d'un groupe cyclique par un sous-groupe de son centre alors il est abélien. La démonstration est exactement la même.

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