Entiers premiers entre eux

[Tonypompier]

Bonjour, le dernier cous de maths (spécialité) j'étais malade et je n'ai pas pu être présent au cours. En conclusion je n'ai pas le cour. J'ai un exercice à faire mais sans le cours ... si vous pourriez m'aider. Merci

1. Prérequis : m et n sont deux entiers tels qu'il existe a et b, entiers relatifs, tels que ma+nb=1
Démontrer que m et n sont premiers entre eux.
2. Soit m et n deux entiers relatifs tels que :
8^m=2*16^n
Démontrer que m et n sont premiers entre eux.

J'ai trouvé une propriété qui dit que pour tous entiers relatifs a et b, il existe des entiers relatifs u et v tels que au+bv=PGCD(a,b)
Mais comme nous ne l'avons pas encore vu à mon avis c'est cette propriété qu'il faut démontrer mais je n'y arrive pas.

En espérant que vous puissiez m'aider. Merci d'avance. Tony

[bruce.ml]

Salut,

Question 1 : Soit d un entier naturel qui divise a et b, d divise ... je te laisse finir ;)
Question 2 : Il faut remarquer que 8 et 16 sont des puissances de 2, puis utiliser la question 1.

[lapras]

Salut,


ce théoreme est le théoreme de Bezout
Tu peux le démontrer facilement dans un sens :
si il existe u et v relatifs tels que ua + vb = 1 , alors PGCD(a,b) = 1
dans l'autre sens (réciproquement donc), tu supposes que m est le plus petit élément tel que m = ua + vb, tu montre que m divise a et b , donc m = 1 (car PGCd(a,b) = 1

2)
8 = 2^3
16 = 2^4
2^(3m) = 2^(4n + 1)

équivaut à 3m - 4n = 1
donc
PGCD(m , n) = 1
:++:

[bruce.ml]

Je trouve ça pas très cool de venir filer les réponses après que quelqu'un se soit pêté le cul à chercher une façon pédagogique de présenter les choses, qui de plus est beaucoup plus profitable à un étudiant car il doit quand même un peu chercher.

[Tonypompier]

Merci beaucoup à vous deux, depuis ce matin je cherchais mais c'est vrai que sans les cours ...